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Combinazioni (KCn) - Universo bernulliano

matematica


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Es. Abbiamo 10 libri. In quanti modi possiamo tirarne fuori 4, e in quanti modi possiamo ordinare i 4 elementi?

Disposizioni: modo di disporre in modo diverso tutti i possibili k elementi distinguibili in una collezione di n elementi.

Combinazioni (KCn)

Data una collezione di n elementi in quanti m 414e41e odi da questi n elementi posso tirare fuori k elementi che sono indistinguibili tra di loro, ma si distinguono dagli n-k elementi indistinguibili tra loro.

Es. Io ho 4 elementi indistinguibili a due a due (aa bb); in quanti modi posso disporli?

a,a,b,b;           a,b,a,b;           b,a,a,b;                      a,b,b,a;           b,b,a,a;           b,a,b,a

KCn =      n!    .            Combinazione di n elementi a k a k

         k! (n-k)!

Questa combinazione non č altro che il coefficiente binomiale di n su k:

KCn =()

Es. lancio 10 volte una moneta e escono 4 testa e 3 croci. In quanti modi possono uscire queste facce?

                              3   2

10 = 10!   = 10 . 9 . 8 . 7 . 6! = 10 . 3 . 7 = 210

 4     4! 6!                   4! 6!   

IMPORTANTE:

 n   =  n  =   n!  = 1     in quanto 0! č, per definizione, uguale a 1

 0       n     n! 0!    

 n   =  n    =      n!       = n (n-1)!  = n

 1       n-1     1! (n-1)!    1! (n-1)!

ln a.b = ln a + ln b                                         ln a/b = ln a - ln b

Universo bernulliano

Esiste un universo di variabili di uso frequente denominato universo bernulliano o dicotomico (da Nicola Bernulli, matematico del '600): universo in cui esistono solo due tipi di variabili mutuamente esclusive ed esaustive di un universo.

Ū la probabilitā che un evento appartenga ad una famiglia di variabili č 1meno la probabilitā che un evento appartenga all'altra famiglia di varibili.

p (T) = p    p (C) = q = 1-p

Ipotesi:

-         nulla H0 ā non č successo nulla di strano;

-         sostantiva H1 ā c'č qualcosa che discosta dalla norma:

ˇ        monodirezionali: a 1 coda ā utilizzata per le hypothesis testing (test sull'ipotesi);

ˇ        bidirezionale: a 2 code ā utilizzata per le hypothesis seeking (ricerca della ipotesi).

Es. lancio 10 volte la moneta ed esce 8 volte testa.

H0:       p=q     la moneta non č truccata

H1:       p>q    

            pšq     č truccata, ma non so come.

Probabilitā di eventi congiunti e disgiunti

1)     Qual'č la probabilitā che, estratte 3 carte da un mazzo, vi siano 2 cuori e 1 tre.

2)     Qual'č la probabilitā che estratte 2 carte la loro somma faccia tre oppure ci sia un sette.

3)     Qual'č la probabilitā che, tirate fuori 2 carte, 1 sia cuori oppure siano 2 assi.

Problemi di calcolo combinatorio

1)     Dati 5 libri, di cui 2 indistinguibili, in quanti modi posso diosporli?

2)     In quanti modi posso disporli se i 2 libri indistinguibili devono stare vicini?

3)     In quanti modi posso disporli se il 1° libro a sinistra deve essere uno dei due indistinguibili?

4)     Dati 10 studenti di cui 3 e 7 , in quanti modi posso tirarne fuori 3 di cui 1 e 2 ?







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