Cartesio Pascal Fermat - Vita, La geometria analitica

CARTESIO

Vita

Cartesio (nome italianizzato di Renè Descartes) nacque a Le Haye in Touraine nel 1596. entrò nel collegio dei gesuiti a La Flèche e successivamente ottenne la licenza in diritto all'Università di Poitiers. La sua fu una vita avventurosa. Si dedicò alla vita militare (si arruolò nelle armate del principe di Nassau, seguendo così le vicende dell 212h73c a guerra dei Trent'anni) viaggiando così in Italia, in Germania ed in Francia dove conobbe Padre Mersenne. Stabilitosi poi in Olanda per porsi al riparo dall'Inquisizione, si ritirò in una vita solitaria di studi ed esperimenti scientifici. Nel 1637 egli pubblicò invece il "Discorso sul metodo", opera basilare, presentato come introduzione a 3 trattati scientifici (La diottrica, Le meteore, e La geometria, opera che riveste grande importanza in quanto sviluppa i principi della geometria analitica). Pubblicò le "Meditationes de prima philosophia" e i " Principia philosophiae" nell'ambito della fisica e della metafisica. Deluso dalla fredda accoglienza delle due opere da parte dei critici, Cartesio lasciò l'Olanda e andò in Svezia presso la regina Cristina che lo aveva chiamato: qui insegnò filosofia ma morì di polmonite a causa del clima nel 1650.

La geometria analitica

Ciò che porta alla fondazione di questa geometria è l'introduzione delle coordinate. A ogni punto di una retta, del piano o dello spazio, si fa corrispondere, in modo unico, un numero, una coppia di numeri o una terna di numeri. Questo fatto permette di TRADURRE OGNI PROBLEMA GEOMETRICO IN UN SISTEMA DI EQUAZIONI. Le coppie e le terne di numeri, assunte in generale come n-ple, rappresentano i punti di uno spazio che costituisce lo spazio numerico reale di n dimensioni. Una volta definiti i "sottospazi", intesi come sottoinsiemi di punti che soddisfano certe equazioni, o sistemi di equazioni, si possono introdurre i concetti di segmento, angolo, ecc.questa geometria viene quindi sviluppata attraverso questi concetti, come la geometria euclidea.

Pascal

Vita

Blaise Pascal nacque a Clermont nel 1623 e morì a Parigi nel 1662, a soli 39 anni. Giovanissimo, fu avviato dal padre Etienne agli studi fisici e matematici, non ancora sedicenne pubblicò il "Saggio sulle coniche" e condusse in seguito studi sul calcolo delle probabilità e degli indivisibili, inventando tra l'altro la prima macchina calcolatrice (la Pascalina) ed il torchio idraulico.

Nel 1646 entrò in contatto con il Giansenismo ed ebbe così inizio il suo interesse per la filosofia e la teologia. Tuttavia non si può parlare ancora di una vera e propria conversione religiosa fino alla famosa notte del 23 novembre 1654, quando, come scrisse egli stesso nei "Memoires", ritrovò il senso di Dio in un attimo di estasi. Nella sua opera più famosa "Pensieri del signor Pascal sulla religione e su alcuni altri argomenti" (che sarebbero alcuni frammenti tratti dall' "Apologia della religione cristiana", opera incompiuta) e , egli distingue fra l'esprit de geometrie (la conoscenza razionale del mondo) e l'esprit de finesse (lo strumento dell'intuizione, che permette di cogliere l'esperienza umana nella sua contraddittorietà e complessità). Accanto a una lucida consapevolezza della sua debolezza e fragilità, l'uomo dovrebbe, secondo Pascal, utilizzare fino in fondo la grande forza che lo contraddistingue rispetto agli altri esseri, quella del pensiero.

La cicloide

Su un cerchio appoggiato a una retta orizzontale segniamo il punto più basso (P). Se ora muoviamo il cerchio lungo la retta in modo che rotoli senza strisciare il punto segnato si solleverà da terra fino ad arrivare ad una altezza massima uguale al diametro del cerchio, per poi riabbassarsi fino a toccare di nuovo il suolo ad una distanza dal punto di partenza uguale alla circonferenza del cerchio. La curva descritta dal punto, che si ripete uguale se si continua a far rotolare il cerchio, prende il nome di cicloide.

Quando il punto P si trova sulla circonferenza si tratterà di una cicloide ordinaria; viene detta accorciata se il punto P è interno al cerchio, allungata se il punto P è esterno al cerchio.

Uno dei primi a prendere in considerazione questa curva fu Galileo, che intuì che l'area compresa tra la cicloide (ordinaria) e la sua corda è il triplo di quella del cerchio generatore.

Nel 1640 scriveva infatti: " Quella linea arcuata sono più di 50 anni che mi venne in mente di descriverla, e l'ammirai per una curvità graziosissima per adattarli agli archi di un ponte. Feci sopra di essa, e sopra lo spazio da lei e dalla sua corda compreso, diversi tentativi per dimostrare qualche passione e parvemi in principio che tale spazio potesse essere triplo del cerchio che lo descrive; ma non fu così, benchè la differenza non sia molta. Ben presto oltre all'area vennero trovati il centro di gravità e i volumi dei solidi ottenuti facendola ruotare attorno alla base e all'asse, come anche un metodo per determinarne le tangenti, una ricerca che coinvolse i maggiori matematici del tempo, tra i quali Cartesio. Tutte queste ricerche testimoniano l'interesse per una curva, forse la prima, totalmente moderna, che non si trova cioè nelle opere dei geometri classici. Un interesse destinato ad aumentare notevolmente con la scoperta che essa costituiva la soluzione di due problemi a prima vista senza relazioni tra loro: la curva di discesa più rapida e l'isocronismo delle oscillazioni.

Infatti la cicloide ordinaria è la curva di minimo tempo o di discesa più rapida (brachiostocrona), in quanto un punto che percorra la cicloide da un suo punto P₁  ad un altro suo punto P₂ impiega il minimo tempo nel passare da P₁ a P₂ .

Risolve inoltre il problema dell'isocronismo delle oscillazioni perché è anche la curva dello stesso tempo (tautocrona), in quanto, da qualunque posizione un punto P parta su di essa (posta in un piano verticale e con la concavità verso l'alto), impiega sempre lo stesso tempo a giungere nel punto più basso dell'arco completo cui P appartiene.

Se la circonferenza ruota su un'altra circonferenza anziché su una retta, si hanno le epicicloidi e le ipocicloidi, a seconda che la prima sia tangente internamente o esternamente alla seconda.

Fermat

Vita

Pierre Fermat nacque nel 1601 a Beaumont de Lomagne da una famiglia di alta borghesia. Fermat comprò una carica al parlamento di Tolosa (in realtà faceva l'ufficiale giudiziario) e dedicava il suo tempo libero alla matematica. Nonostante il suo genio eccezionale per la matematica, non ha mai pubblicato alcuna opera matematica, ma intrattenenne una fitta corrispondenza con vari scienziati del suo tempo e in particolare con il Padre Mersenne. I contributi di Fermat spaziano dal calcolo infinitesimale (di cui è un fondatore insieme a Cartesio), al calcolo delle probabilità e alla combinatorica, di cui, insieme a Pascal, gettò le basi. I suoi contributi maggiori riguardono però la teoria dei numeri, come il "piccolo teorema di Fermat", la risoluzione dell'equazione di Pell (che in realtà dovrebbe chiamarsi l'equazione di Fermat, poiché Fermat gettò la sfida ai matematici di risolvere una certa equazione, di cui lui conosceva già la risoluzione; fu risolta infine dal matematico inglese Pell e per questo quel tipo di equazione da quel momento fu chiamata equazione di Pell), il metodo della "discesa infinita". Ma il nome di Fermat è noto per uno degli enigmi più straordinari della matematica: "la congettura (o ultimo teorema) di Fermat".

La teoria dei numeri

I contributi di Femat in ambito matematico spaziano dalla geometria analitica, di cui è il fondatore insieme a Cartesio, al calcolo delle probabilità. Ma suoi contributi maggiori riguardano la teoria dei numeri, di cui è considerato il padre fondatore. Gli studi più importanti ed originali che Fermat realizzò in questo ambito sono il cosiddetti "piccolo teorema di Fermat" e "grande teorema di Fermat", meglio conosciuto come "ultimo teorema", che ancora oggi viene considerato uno degli enigmi più straordinari della matematica.

L'ultimo teorema di Fermat afferma che non esistono tre numeri interi x, y, z che elevati ad un numero n maggiore di 2, rendano vera l'equazione xⁿ + yⁿ = zⁿ. Prima di arrivare a tale congettura Fermat analizzò casi particolari, giungendo ad affermare che, per esempio, non esistono tre interi positivi x, y, z che elevati al cubo rendano vera l'equazione x³+y³=z³ . In generale, possiamo dire che Fermat riuscì ad affermare che nessun cubo è divisibile in due cubi.

Il mistero sull'ultimo teorema di Fermat nasce proprio dal fatto che di Fermat non ci è rimasta nessuna dimostrazione. La leggenda vuole che lo stesso Fermat scrisse sul margine di una copia dell'Arithmetica di Diofanto di essere riuscito a trovare una straordinaria dimostrazione del teorema, ma che lo spazio di quel margine fosse troppo esiguo per poterla trascrivere.

Il piccolo teorema, invece, nasce dallo studio di diversi casi di numeri aventi la forma a ^p-1-1. Fermat nel suo teorema afferma che se p è primo e a è primo rispetto a p, allora a ^p-1-1 è divisibile per p. Fermat formulò una seconda congettura, dove sosteneva che i numeri interi aventi la forma 2²ⁿ+1, numeri conosciuti come numeri di Fermat, siano sempre primi. Un secolo più tardi Eulero ne dimostrò la falsità, almeno nei casi in cui n assume valori compresi tra 5 e 16 inclusi. Lo stesso Eulero dimostrò il piccolo teorema attraverso il metodo dell'induzione matematica, un ragionamento che era ben noto a Fermat.

Fermat non sarebbe mai riuscito a dimostrare alcune delle sue congetture se non avesse usato il metodo della discesa infinita, un metodo molto simile ad una induzione. L'applicazione di questo metodo può essere fatta per dimostrare che radice di 3 non è un numero razionale. Fermat immagina che questo valore sia il rapporto tra due numeri interi positivi. Applicando la discesa infinita, si otterrà che il valore di radice di 3 è compreso tra 3/2 e 2; radice 3 così può essere considerato come il rapporto tra due interi positivi presi in quell'intervallo di valori. Si otterrà così un altro intervallo di valori in cui è compreso radice di 3.

Questo ragionamento può essere ripetuto indefinite volte, portando appunto ad una discesa infinita in cui il valore di radice di 3 sia il rapporto  tra due interi sempre più piccoli. Ma se il procedimento prosegue all'infinito, questo implica la conclusione falsa che non esiste un intero positivo più piccolo degli altri. Quindi deve essere falsa anche la premessa che radice di 3 sia il rapporto tra due numeri interi.

Utilizzando la discesa infinita Fermat dimostrò la congettura di Girard secondo cui ogni numero primo avente forma 4n+1 poteva essere scritto come la somma di due quadrati soltanto in un modo. Fermat mostrò che se 4n+1 non è la somma di due quadrati, allora esiste sempre un intero scritto in questa forma e che non è la somma di due quadrati. Utilizzando la discesa infinita "al contrario", Fermat affermò che il più piccolo di questa forma, cioè 5, non è la somma di due quadrati. Fermat sbagliava, perchè 5=1²+2², ma seguendo il suo procedimento, si afferma la verità del teorema generale. Inoltre, poiché nessun numero avente forma 4n-1 può essere la somma di due quadrati, il teorema dimostrato da Fermat permette di classificare i numeri primi in quelli che sono e quelli che non sono la somma di due quadrati, ad eccezione del 2. Ma Fermat sapeva che tutti i numeri primi, appartenenti all'una o all'altra classe, potevano essere scritti come la differenza di due quadrati in uno e in un solo modo.