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CONSEGUENZE DEL TEOREMA DI LAGRANGE

matematica


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CONSEGUENZE DEL TEOREMA DI LAGRANGE

 

1 Corollario: Se in tutto l'intervallo (a; b) si suppone f '(x0)=0, allora la funzione f(x0) costante in (a; b)

Dimostrazione : Prendiamo un qualsiasi punto x0 dell'intervallo (a; b) con x0a ed applichiamo il teorema di Lagrange alla funzione in questione nell'intervallo (a; x0). Si ha:

[f(x0)-f(a)]/(x0-a)=f '(z)  [2]     con             a<z<x0

Per ipotesi la f '(x0) nulla in tutto l'intervallo (a; b) e quindi f '(z)=0; dalla [2] si ricava che f(x0)-f(a)=0  ovvero f(x0)=f(a). La funzione cio assume in tutti i punti di (a; b) sempre lo stesso valore f(z) per cui tale funzione costante.

 

Di questo secondo corollario diamo solo la definizione, dal momento che di grande importanza nella pratica

 

2 Corollario: Se in un intervallo (a; b) la derivata f '(x) sempre positiva, allora la funzione crescente in tale intervallo; se invece negativa, la funzione decrescente







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