CONSEGUENZE DEL TEOREMA DI LAGRANGE

matematica

CONSEGUENZE DEL TEOREMA DI LAGRANGE

1° Corollario: Se in tutto l'intervallo (a; b) si suppone f '(x₀)=0, allora la funzione f(x₀) è costante in (a; b)

Dimostrazione : Prendiamo un qualsiasi punto x₀ dell'intervallo (a; b) con x₀ a ed applichiamo il teorema di Lagrange alla funzione in questione nell'intervallo (a; x₀). Si ha:

[f(x₀)-f(a)]/(x₀-a)=f '(z)  [2]    con     a<z<x₀

Per ipotesi la f '(x₀) è nulla in tutto l'intervallo (a; b) e quindi f '(z)=0; dalla [2] si ricava che f(x₀)-f(a)=0  ovvero f(x₀)=f(a). La funzione cioè assume in tutti i punti di (a; b) sempre lo stesso valore f(z) per cui tale funzione è costante.

Di questo secondo corollario diamo solo la definizione, dal momento che è di grande importanza nella pratica

2° Corollario: Se in un intervallo (a; b) la derivata f '(x) è sempre positiva, allora la funzione è crescente in tale intervallo; se invece è negativa, la funzione è decrescente