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SCHEMA BASE DELLE CONOSCENZE GEOMETRICHE - Un assioma è una proposizione assunta come vera

geometria


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SCHEMA BASE
DELLE
CONOSCENZE GEOMETRICHE

 

Enti primitivi:             . Punto



             . Insieme Appartenenza

                           . Movimento Rigido

Un assioma è una proposizione assunta come vera.

 Assiomi:    1. Ogni coppia di punti A e B distinti nello spazio appartiene ad una ed                             

                          una sola retta.

                       2. Data una retta r, esiste almeno un punto che non appartiene ad r.

                       3. Tre punti non allineati appartengono ad uno ed un solo piano.

                       4. Se due punti di una retta appartengono ad un piano, la retta giace    

                          interamente sul piano.

             5. Il piano contiene infiniti punti ed infinite rette.

                       6. Dato un piano a, esiste almeno un punto che non appartiene ad a.

                       7. Lo spazio contiene infiniti punti, infinite rette, infiniti piani.

                       8. La retta è un insieme di punti totalmente ordinato.

                       9. Presi due punti distinti A e B su una retta tali che, nel verso fissato, A                                                                                                                                    

                            precede B, accade che:

                                                  vi è almeno un punto che segue A e precede B

                                                  vi è almeno un punto che precede A

                                                  vi è almeno un punto che segue B.

10. Sia r una retta di un piano e siano A e B due punti del piano; allora

·         se A e B appartengono alla stessa regione, il segmento AB non interseca la retta r

·         se A e B appartengono a regioni diverse, il segmento AB interseca la retta r.

11. La relazione di congruenza è:

·         riflessiva: ogni figura è congruente a se stessa;

·         simmetrica: se F1 è congruente con  F2 anche F2  F1;

·         transitiva: transitiva se F1  F2 e F2  F3 allora F1  F3.

                         12. Dato un segmento AB ed una semiretta di origine O, esiste sulla

semiretta ed è unico un punto P in modo che il segmento OP sia

congruente al segmento AB.

                         13. Dato un angolo ab ed un fascio orientato di semirette sul quale si

sia fissata una semiretta c, esiste ed è unica la semiretta d tale che l'angolo cd, nell'orientamento prefissato, sia congruente all'angolo ab.

14. Fissato un orientamento su una retta r, ogni segmento AB di r è

congruente al segmento BA ottenuto considerando l'orientamento

opposto su r. Fissato un orientamento in un fascio di semirette,

l'angolo ab è congruente all'angolo ba nel verso opposto.

              15. Dato un segmento AB ed un numero naturale n, esistono sempre il suo

multiplo secondo n ed il suo sottomultiplo secondo n se n ≠ 0.

16. Dato un angolo ab esistono sempre il suo multiplo secondo un

numero naturale n ed il suo sottomultiplo secondo n, se n ¹ 0.

17. Se due triangoli hanno due lati e l'angolo fra essi compreso

ordinatamente congruenti, hanno anche gli altri due angoli ed il terzo

lato ordinatamente congruenti.

Un teorema è una proposizione vera la cui verità è dimostrabile attraverso un procedimento di deduzione logica.

 Teoremi:    1. La retta contiene infiniti punti, è densa ed è illimitata.       

                        2. Per un punto del piano passano infinite rette.    

                        3. Il punto medio di un segmento è unico.

                        4. La bisettrice di un angolo è unica.

                        5. Angoli supplementari di angoli congruenti sono congruenti.

                        6. Angoli opposti al vertice sono congruenti.

                       7. Metà di angoli congruenti sono congruenti.



      8. Primo criterio di congruenza dei triangoli:

Due triangoli sono congruenti se hanno due lati e l'angolo fra essi compreso ordinatamente congruenti.

      9. Secondo criterio di congruenza dei triangoli:

Due triangoli sono congruenti se hanno un lato e gli angoli adiacenti ad esso ordinatamente congruenti.

   10. Terzo criterio di congruenza dei triangoli:

Due triangoli sono congruenti se hanno i tre lati ordinatamente congruenti.

11. Quarto criterio di congruenza dei triangoli:

Due triangoli sono congruenti se hanno un lato, uno degli angoli ad esso adiacenti e l'angolo ad esso opposto ordinatamente congruenti.

   12. In un triangolo gli angoli adiacenti alla base sono congruenti.

   13. Se un triangolo ha due lati congruenti allora esso è isoscele.

14. In un triangolo isoscele la bisettrice dell'angolo al vertice è anche la mediana e asse relativa alla base.

15. In un triangolo isoscele la mediana relativa alla base è anche bisettrice dell'angolo al vertice e asse del segmento base.

16. In un triangolo isoscele l'asse del segmento base è anche la bisettrice dell'angolo al vertice e mediana relativa alla base.

17. La perpendicolare per un punto ad una retta data esiste sempre ed è unica.

18. Se due rette distinte s e t sono perpendicolari ad una stessa retta r, allora nono hanno nessun punto in comune.

19. Due rette parallele ad una terza sono parallele fra di loro.

20. Dato un fascio di rette parallele, se una retta incontra una di questa parallele, incontra anche le altre e la si chiama trasversale.

21. se due rette tagliate da una trasversale, formano angoli alterni interni congruenti, allora sono parallele.

22. Criterio generale di parallelismo:

Due rette si dicono parallele se tagliate da una trasversale formano:

·             angoli alterni interni congruenti,

·             angoli corrispondenti congruenti,

·             angoli coniugati supplementari.

23. Due rette parallele tagliate da una trasversale formano:

·             angoli alterni interni congruenti,

·             angoli corrispondenti congruenti,

·             angoli coniugati supplementari.

24. La somma degli angoli interni di un triangolo è congruente ad un angolo piatto.

Una definizione è una proposizione di senso esplicito od implicito, che individua univocamente e senza ambiguità un oggetto in maniera da poterlo sempre riconoscere.

 Definizioni:   1. Si dice figura geometrica un qualunque sottoinsieme dello spazio,

quindi un qualunque insieme di punti.

                                 

2. Si dicono complanari due rette che appartengono allo stesso piano.

3. Si dicono incidenti due rette che hanno un solo punto di intersezione.

        

4. Si dicono parallele due rette che non hanno alcun punto di

intersezione.

5. L'insieme delle rette che passano per un punto P si dice fascio di  

rette proprio o anche fascio di rette di centro P.

6. Data una retta orientata e fissato un punto P su di essa, si chiama

semiretta l'insieme formato dal punto P e da tutti quelli che lo seguono,

oppure l'insieme formato dal punto P e da tutti quelli che lo precedono; il punto P si dice origine della semiretta.

7. Considerati due punti A e B su una retta orientata, si dice segmento l'insieme dei punti A e B e di tutti quelli che sono compresi fra essi.

I punti A e B si dicono estremi del segmento.

8. Si dicono consecutivi due segmenti che hanno in comune solo un

estremo.

9. Si dicono adiacenti due segmenti che sono consecutivi ed appartengono

alla stessa retta.

10. Data una retta r su un piano a, si dice semipiano di origine r

cciascuna delle due regioni individuate da r su a. La retta r si dice

gorigine o frontiera del semipiano.

                            11. Si chiama angolo ciascuna delle due parti in cui due semirette                                                                      

                                     che hanno l'origine in comune dividono il piano. Le due




                                     semirette si dicono lati dell'angolo, l'origine comune si dice

                     vertice.

                            

                             12. Un angolo si dice convesso se non contiene il prolungamento

                                     dei suoi lati; si dice concavo se li contiene.

                13. Si dicono consecutivi due angoli che hanno il vertice ed un lato

                                     in comune e gli altri due lati che si trovano da parti opposte

                                     rispetto al lato in comune.

                 14. Si dicono adiacenti due angoli consecutivi che hanno i lati non

                     comuni appartenenti alla stessa retta.

                 15. Se i lati di un angolo sono semirette opposte l'angolo si dice

                                     piatto; se sono sovrapposte e l'angolo è concavo si dice

                                     giro; se sono sovrapposte e l'angolo è convesso si dice nullo.

                 16. Si dicono opposti al vertice due angoli tali che i lati del primo

                      sono i prolungamenti dei lati del secondo.

                 17. Si dice corda di un angolo convesso il segmento che ha gli

                      estremi sui due lati dell'angolo.

18. Due figure F1 e F2 si dicono congruenti quando esiste un

movimento rigido che le sovrappone in modo che ogni punto di

F1 coincida con un punto di F2.

                              19. Chiamiamo lunghezza di un segmento la classe di equivalenza

dei segmenti congruenti fra loro.

Chiamiamo ampiezza di un angolo la classe di equivalenza

degli angoli congruenti fra loro.

20. Si chiama spezzata una linea formata da più segmenti

consecutivi; tali segmenti si dicono lati della spezzata, i loro

estremi si chiamano vertici.

Quando il primo vertice coincide con l'ultimo, la spezzata si dice chiusa, altrimenti si dice aperta; se due lati non consecutivi della spezzata si incontrano, si dice che la spezzata è intrecciata.

21. Si chiama poligono la figura formata da una poligonale e dalla

parte finita di un piano da essa delimitata.

22. In un poligono si dice angolo interno ciascun angolo (convesso) che

ha vertice in un vertice del poligono che ha per lati le

semirette dei lati del poligono uscenti da quel vertice.

23. In un poligono si dice angolo esterno ciascun angolo adiacente ad un

angolo interno; ad ogni vertice del poligono si possono associare due

angoli esterni, che sono congruenti perché opposi al vertice.

24. In un poligono si dice diagonale ogni segmento che unisce due vertici

non consecutivi.

25. In un poligono si dice corda ogni segmento che unisce due qualsiasi

punti del contorno del poligono che non appartengono allo stesso lato

26. Si dice triangolo ogni figura convessa con tre lati.

27. Si definisce scaleno un triangolo che ha tutti i lati disuguali.

28. Si definisce isoscele un triangolo che ha due lati congruenti; i lati

congruenti si dicono anche lati obliqui, il terzo lato si chiama base.

29. Si definisce equilatero un triangolo che ha tutti i lati congruenti

30. Si definisce luogo geometrico l'insieme dei punti che hanno una                   certa proprietà.

31. L'asse di un segmento è il luogo geometrico in cui tutti i punti sono equidistanti dagli estremi del segmento.

32. Due rette r e s si dicono perpendicolari se intersecandosi formano quattro angoli congruenti fra loro.

33. Due rette si dicono parallele se non hanno alcun punto in comune o sono coincidenti.


Proprietà:      1. Dati due segmenti AB e CD, la loro somma è il segmento AD che si

ottiene accostando CD ad AB con un movimento rigido in modo che

AB e CD siano adiacenti.

2. Dati due segmenti AB e CD, con AB > CD, la differenza AB-CD è il

segmento DB che si ottiene sovrapponendo AB e CD in modo che A

coincida con C.

3. Dato un segmento AB ed un numero naturale n > 1, si dice multiplo di

AB secondo n il segmento CD che si ottiene facendo la somma di n

segmenti congruenti ad AB. Si dice anche che AB è sottomultiplo

di CD secondo n.







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