GRANDEZZE OMOGENEE E LORO MISURA - CLASSI DI GRANDEZZE

Se una grandezza A è uguale ad una grandezza B, allora B è uguale ad A (simmetrica)

Due grandezze uguali ad una terza sono uguali tra loro (transitiva)

Se una grandezza è maggiore di un'altra e questa è maggiore di una terza allora la prima è maggiore della terza.(transitiva della disuguaglianza) Se A>B e se B>C  allora A>C

Date due grandezze A e B, si verifica sempre uno ed uno solo dei seguenti casi: A=B, A<B, A>B

La somma di due o più grandezze non cambia se si cambia l'ordine di esse (commutativa)

La somma di due o più grandezze non cambia se a due o più di esse si sostituisce la loro somma(associativa)

Somme di grandezze uguali sono uguali

Differenze di grandezze uguali sono uguali.

MULTIPLI E SOTTOMULTIPLI DI UNA GRANDEZZA

Data una grandezza B ed un numero naturale m, la grandezza A somma di m grandezze tutte uguali a B si dice multipla di B secondo m. A= mB

*B è sottomultipla di A secondo il numero m. B= 1/m A

Postulato della divisibilità.Ogni grandezza è sempre divisibile in un numero qualunque di parti uguali.

Ammette che esiste sempre la sottomultipla B di  A secondo m: B=1/m A ossia A= mB

Postulato di Eudosso-Archimede.Date due grandezze omogenee disuguali,esiste sempre una multipla della minore che supera la maggiore.

GRANDEZZE COMMENSURABILI ED INCOMMENSURABILI

Due grandezze omogenee si dicono commensurabili se ammettono una sottomultipla comune; si dicono incommensurabili se non ammettono una sottomultipla comune.

T. Il latoe la diagonale di un quadrato sono segmenti incommensurabili.

RAPPORTO DI DUE GRANDEZZE

*Il rapporto di due grandezze commensurabili è un numero razionale

T. Se il rapporto di due grandezze è un numero razionale, allora le due grandezze sono commensurabili

*Il rapporto di due grandezze incommensurabili è un numero irrazionale

NUMERI REALI=Due numeri reali sono uguali se hanno gli stessi valori approssimati per difetto e per eccesso.

POSTULATO DELLA CONTINUITA'=Due insiemi separati di grandezze di una stessa classe ammettono almeno un elemento di separazione.

T. Due insiemi continui di grandezze ammettono un solo elemento di separazione.

MISURA DELLE GRANDEZZE= Dicesi misura di una grandezza A rispetto ad un'altra U omogenea con A, il numero reale  che espime il rapporto di A ad U. A/U=

T. Il rapporto di due grandezze omogenee è uguale al quoziente delle loro misure rispetto ad una stessa unità.

PROPORZIONI TRA GRANDEZZE= Quattro grandezze A,B,C,D, si dicono in proporzione se il rapporto tra A e B è uguale al rapporto tra C e D.  A:B=C:D

T. la condizione necessaria affinchè quattro grandezze siano in proporzione, è che siano in proporzione le loro misure.

Proprietà:

In ogni proporzione tra grandezze si può scambiare ogni antecedente col suo conseguente (prop. dell'invertire)  B:A=A:D

In ogni proporzione tra grandezze tutte omogenee, si possono scambiare i medi oppure gli estremi (prop. del permutare)  A:C=B:D e D:B=C:A

In ogni proporzione tra grandezze la somma dei promi due termini sta al primo come la somma degli altri due termini sta al terzo. (prop. del comporre) (A+B):A=(C+D):C e (A+B):B(C+D):D

In ogni proporzione tra grandezze,se ogni antecedente è maggiore del proprio conseguente,la differenza tra il primo ed il secodo termine sta al primo come la differenza tra il terzo ed il quarto termine sta al terzo.   (A-B):A=(C-D):C   e (A-B):B=(C-D):D

In ogni serie di rapporti uguali tra grandezze tutte omogenee,la somma degli antecedenti sta a quella dei conseguenti come un antecedente sta al proprio conseguente. (A+C+E):(B+D+F)=C:D

Se quattro grandezze sono in proporzione,secondoche la prima è uguale ,maggiore o minore della seconda,anche la terza è uguale ,maggiore o minore della quarta.

7) TEOREMA DELLA QUARTA PROPORZIONE.Date tre grandezze A,B,C con A e B omogenee tra loro,esiste ed è unica la grandezza D,omogenea con C, che è quarta proporzionale dopo A,B,C.

8)COROLLARIO.Se due proporzioni hanno tre termini ordinamente uguali,allora anche i rimanenti termini sono uguali.