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GRANDEZZE OMOGENEE E LORO MISURA - CLASSI DI GRANDEZZE

geometria


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GRANDEZZE OMOGENEE E LORO MISURA - CLASSI DI GRANDEZZE

GRANDEZZE OMOGENEE E LORO MISURA

CLASSI DI GRANDEZZE

Due grandezze si dicono omogenee se si possono confrontare e si possono sommare; per esempio due segmenti o due angoli sono grandezze omogenee, un segmento ed un'area non sono grandezze omogenee perché non ha senso confrontarle o sommarle.                                                                                                                                          

Un insieme di enti geometrici costituisce una classe di grandezze omogenee o della stessa specie,ogni volta che per tali enti possono definirsi i concetti di uguaglianza e di disiguaglianza, nonchè l'operazione di addizzione.

Due grandezze non omogenee si dicono eterogenee.

Proprietà:

1)Ogni grandezza è uguale a se stessa (riflessiva)



2)Se una grandezza A è uguale ad una grandezza B, allora B è uguale ad A (simmetrica)

3)Due grandezze uguali ad una terza sono uguali tra loro (transitiva)

4)Se una grandezza è maggiore di un'altra e questa è maggiore di una terza allora la prima è maggiore della terza.(transitiva della disuguaglianza) Se A>B e se B>C  allora  A>C 

5)Date due grandezze A e B, si verifica sempre uno ed uno solo dei seguenti casi: A=B, A<B, A>B

6)La somma di due o più grandezze non cambia se si cambia l'ordine di esse (commutativa)

7)La somma di due o più grandezze non cambia se a due o più di esse si sostituisce la loro somma(associativa)

8)Somme di grandezze uguali sono uguali

9)Differenze di grandezze uguali sono uguali.

MULTIPLI E SOTTOMULTIPLI DI UNA GRANDEZZA

*Data una grandezza B ed un numero naturale m, la grandezza A somma di m grandezze tutte uguali a B si dice multipla di B secondo m. A= mB

*B è sottomultipla di A secondo il numero m. B= 1/m A

Postulato della divisibilità.Ogni grandezza è sempre divisibile in un numero qualunque di parti uguali.

Ammette che esiste sempre la sottomultipla B di  A secondo m: B=1/m A  ossia A= mB

Postulato di Eudosso-Archimede.Date due grandezze omogenee disuguali,esiste sempre una multipla della minore che supera la maggiore.

GRANDEZZE COMMENSURABILI ED INCOMMENSURABILI

Due grandezze omogenee si dicono commensurabili se ammettono una sottomultipla comune; si dicono incommensurabili se non ammettono una sottomultipla comune.

T. Il latoe la diagonale di un quadrato sono segmenti incommensurabili.

RAPPORTO DI DUE GRANDEZZE

*Il rapporto di due grandezze commensurabili è un numero razionale

T. Se il rapporto di due grandezze è un numero razionale, allora le due grandezze sono commensurabili

*Il rapporto di due grandezze incommensurabili è un numero irrazionale

NUMERI REALI=Due numeri reali sono uguali se hanno gli stessi valori approssimati per difetto e per eccesso.

POSTULATO DELLA CONTINUITA'=Due insiemi separati di grandezze di una stessa classe ammettono almeno un elemento di separazione.

T. Due insiemi continui di grandezze ammettono un solo elemento di separazione.

MISURA DELLE GRANDEZZE= Dicesi misura di una grandezza A rispetto ad un'altra U omogenea con A, il numero reale  che espime il rapporto di A ad U.  A/U=




T. Il rapporto di due grandezze omogenee è uguale al quoziente delle loro misure rispetto ad una stessa unità.

PROPORZIONI TRA GRANDEZZE= Quattro grandezze A,B,C,D, si dicono in proporzione se il rapporto tra A e B è uguale al rapporto tra C e D.  A:B=C:D

T.  la condizione necessaria affinchè quattro grandezze siano in proporzione, è che siano in proporzione le loro misure.

Proprietà:

1)In ogni proporzione tra grandezze si può scambiare ogni antecedente col suo conseguente (prop. dell'invertire)  B:A=A:D

2)In ogni proporzione tra grandezze tutte omogenee, si possono scambiare i medi oppure gli estremi (prop. del permutare)  A:C=B:D  e   D:B=C:A

3)In ogni proporzione tra grandezze la somma dei promi due termini sta al primo come la somma degli altri due termini sta al terzo. (prop. del comporre) (A+B):A=(C+D):C     e      (A+B):B(C+D):D

4)In ogni proporzione tra grandezze,se ogni antecedente è maggiore del proprio conseguente,la differenza tra il primo ed il secodo termine sta al primo come la differenza tra il terzo ed il quarto termine sta al terzo.   (A-B):A=(C-D):C       e         (A-B):B=(C-D):D

5)In ogni serie di rapporti uguali tra grandezze tutte omogenee,la somma degli antecedenti sta a quella dei conseguenti come un antecedente sta al proprio conseguente.  (A+C+E):(B+D+F)=C:D

6)Se quattro grandezze sono in proporzione,secondoche la prima è uguale ,maggiore o minore della seconda,anche la terza è uguale ,maggiore o minore della quarta.

7) TEOREMA DELLA QUARTA PROPORZIONE.Date tre grandezze A,B,C con A e B omogenee tra loro,esiste ed è unica la grandezza D,omogenea con C, che è quarta proporzionale dopo A,B,C.

8)COROLLARIO.Se due proporzioni hanno tre termini ordinamente uguali,allora anche i rimanenti termini sono uguali.







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