GEOMETRIA EUCLIDEA

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IMPARIAMO INSIEME

Punto,retta,piano e spazio sn gli enti primitivi e fondamentali della geometria.

GRANDEZZE OMOGENEE E LORO MISURA - CLASSI DI GRANDEZZE

LE ORIGINI DELLA GEOMETRIA

Circonferenza, cerchio e relative proprietà

Condizione di parallelismo e perpendicolarità tra rette - Geometria piana

AREA DEI POLIGONI

TEOREMA DI TALETE - TEOREMA INVERSO DEL COROLLARIO DI TALETE

GEOMETRIA EUCLIDEA

Esistono nella geometri alcuni elementi per i quali non viene data nessuna definizione, essi sono: il

punto, la retta e il piano e vengono chiamati enti primitivi.

Postulato: Data due qualunque punti distinti A e B esiste una ed una sola retta che li contiene entrambi.

Postulato: Ogni retta è un insieme ordinato di punti. Presi su di essa due punti distinti A e B esiste sempre un punto C compreso tra A e B.

Postulato: Dato un punto P esistono rette che non lo contengono, quindi per ogni punto P passano infinite rette.

Definizione: Si dice semiretta ciascuna delle parti in cui una retta è divisa da un punto A, detto punto di origine.

Definizione: Si dice segmento la parte di retta compresa fra due punti A e B detti estremi del segmento.

Postulato del trasporto: Data una semiretta ed un segmento esiste uno ed un sol punto sulla semiretta che, con l'origine, individua un segmento uguale al dato.

Postulato di Euclide: Dati una retta ed un punto esterno ad essa esiste ed è unica una retta s passante per P e non avente alcun punto in comune con la retta data.

Postulato del piano: Ogni retta r suddivide il piano π in tre sottoinsiemi p' e p''. i sottoinsiemi sono tali che un segmento AB, i ciu estremi appartengono entrambi a p' (0 entrambi a p''), non ha alcun punto in comune con r, mentre un segmento CD i cui estremi appartengono l'uno a p' e l'altro a p'' ha un punto in comune con 747b16h r.

GLI ANGOLI

Definizione: L'angolo è l'intersezione di due semipiani, se sono coincidenti l'angolo è piatto, se sono opposti l'angolo è giro. Il postulato del trasporto è valido anche per gli angoli.

Teorema dell'angolo convesso: Sia OE una semiretta avente l'origine nel vertice O di un angolo convesso AOB e passante per un punto E appartenete ad esso. Allora ogni punto della semiretta OE appartiene all'angolo. Inoltre, se CD è un segmento che ha per estremi due punti appartenenti ai lati dell'angolo (ma distinti da O), la semiretta OE ha un punto in comune con 747b16h il segmento CD.

I TRIANGOLI

Definizione: Il triangolo è l'intersezione di tre semipiani ed è una figura convessa.

I criterio di uguaglianza dei triangoli: Due triangoli che hanno rispettivamente uguali due lati e l'angolo fra essi compreso, sono uguali.

Hp: AB=A'B'

BC=B'C'

ABC=A'B'C'

Th. ABC=A'B'C'

I teorema su triangolo isoscele: Un triangolo isoscele ha gli angoli alla base uguali.

Questo teorema si dimostra servendosi del I criterio di uguaglianza dei triangoli.

II criterio du uguaglianza dei triangoli: Due triangoli che hanno rispettivamente uguali due angoli e il lato fra essi compreso sono uguali.

^

Hp: BC=B'C'

^

ABC=A'B'C'

ACB=A'B'C'

Th. ABC=A'B'C'

Il I e il II criterio di uguaglianza si dimostrano facendo sovrapporre i tre vertici dei due triangoli, ciò comporta che vadano a coincidere anche i lati e gli angoli.

II teorema su triangolo isoscele: Un triangolo che ha due angoli uguali ha pure uguali i lati opposti a questi, per cui esso è isoscele.

Questo teorema si dimostra servendosi del II criterio di uguaglianza dei triangoli.

III criterio di uguaglianza dei triangoli: Due triangoli che hanno i tre lati rispettivamente uguali, sono uguali.

Hp: AB=A'B'

BC=B'C'

CA=C'A'

Th: ABC=A'B'C'

Questo teorema si dimostra servendosi del postulato del piano e del I criterio di uguaglianza.

Teorema dell'angolo esterno: In un triangolo, ogni angolo esterno è maggiore di ciascuno dei due angoli interni non adiacenti.

Hp: ACD esterno

Th. ACD > BAC

Definizione: Un angolo si dice retto se è uguale ad un angolo ad esso adiacente.

PARALLELISMO

Definizione: Due rette si dicono parallele se non hanno punti in comune.

Criterio di parallelismo di due rette: Due rette sono parallele se solo se tagliate da una trasversale formano angoli alterni interni uguali (Condizione necessaria e sufficiente).

Teorema diretto: Se due rette tagliate da una trasversale formano con essa due angoli alterni interni uguali, allora le due rette sono parallele (condizione necessaria).

Teorema inverso: Se due rette distinte sono parallele, allora, tagliate da una trasversale formano con essa angoli alterni interni uguali (condizione sufficiente).

Questi due teoremi di dimostrano per assurdo, ovvero negando la tesi e facendo nascere una contraddizione che rende vera la tesi. Il teorema diretto va a contraddire il teorema dell'angolo esterno, mentre il teorema inverso utilizza il teorema diretto e va a contraddire il postulato di Euclide.

PROPRIETA' DEI TRIANGOLI

Teorema: La somma degli angoli interni do ogni triangolo è uguale ad un angolo piatto(immediata conseguenza del criterio di parallelismo).

Th. ABC

^ ^ ^

Hp:ABC + BCA + CAB = 180°

II criterio generalizzato di uguaglianza dei triangoli: Due triangoli aventi un lato e due angoli ordinatamente uguali, sono uguali.

Teorema (diretto): In un triangolo con due lati disuguali, anche gli angoli opposti sono disuguali ed a lato maggiore sta opposto angolo maggiore.

Questo teorema si dimostra servendosi del postulato del trasporto e del teorema dell'angolo esterno

Teorema (inverso al precedente): In un triangolo con due angoli disuguali, i due lati opposti sono disuguali e ad angolo maggiore sta opposto lato maggiore.

Per dimostrare questo teorema si ragiona per assurdo.

^ ^

Nemmeno puo' essere AC <AB perche' se lo fosse, per il teorema precedente sarebbe ABC<ACB contro l'ipotesi.

Pertanto AC, non potendo essere né uguale né minore di AB, risulta necessariamente maggiore.

Teorema: In un triangolo, ciascun lato è maggiore della differenza degli altri due.

Siano a, b e c (con b≥c) i lati del triangolo; dobbiamo dimostrare che a>b-c e sapendo dal teorema precedente che a+c>b, il teorema si dimostra per via algebrica.

Teorema di uguaglianza dei triangoli rettangoli: Due triangoli rettangoli sono uguali se hanno, oltre all'angolo retto, due elementi ordinatamente uguali (che non siano i due angoli acuti).

Definizione: Si dice proiezione di un punto su una retta il piede della perpendicolare condotta dal punto al piano.

Teorema: Il segmento perpendicolare condotto da un punto ad una retta è minore di qualsiasi segmento obliquo condotto da quel punto quella retta.

Questo teorema si dimostra facendo notare che ogni segmento obliquo sarebbe l'ipotenusa del triangolo rettangolo formato con la perpendicolare.

Teorema: Due segmenti obliqui, aventi proiezioni uguali su una stessa retta sono uguali.

Questo teorema si dimostra usando il criterio di uguaglianza dei triangoli rettangoli.

Definizione: Data una proprietà, si dice luogo geometrico la figura costituita da tutti e soli i punti che godono di quella proprietà

Definizione: Si dice asse di un segmento la perpendicolare al segmento condotta nel punto medio.

Teorema: l'asse di un segmento è il luogo dei punti equidistanti dagli estremi del segmento.

Dopo aver scoperto che il triangolo è un triangolo isoscele si sa per questo che la sua mediana è anche altezza.

Teorema: Il luogo geometrico dei punti equidistanti da due rette incidenti è la bisettrice degli angoli formati dalle due rette.

Questo teorema si dimostra grazie al criterio di uguaglianza dei triangoli rettangoli.

Definizione:Si dice poligono la figura intersezione di un numero qualsiasi di semipiani superiore a 2

Teorema: La somma degli angoli interni di un poligono convesso è uguale a tanti angoli piatti quanti sono i lati (Si=nπ-2π)

Questo teorema si dimostra dividendo in tante parti quante sono i lati il poligono a partire da un punto interno al poligono

Teorema: La somma degli angoli esterni di un poligono convesso è uguale ad un angolo giro qualsiasi sia il numero dei suoi lati(Se=2π)

Questo teorema si dimostra sapendo che ogni angolo esterno è adiacente ad uno interno di modo che la somma degli angoli esterni sia tanti angoli piatti quanti sono i lati meno la somma degli angoli interni.

Definizione: Si dice parallelogramma ogni quadrilatero avente i lati opposti a due a due paralleli.

Questo teorema si dimostra facendo vedere per prima cosa che i due triangoli formati da una diagonale sono uguali. Da questa uguaglianza deriva tutto il resto.

Teorema: Un quadrilatero con due lati opposti e uguali è un parallelogramma

Questo teorema si dimostra usando il criterio di parallelismo prendendo come trasversale la diagonale del quadrilatero.

Definizione: Si dice rettangolo ogni parallelogramma avente tutti gli angoli uguali. Le sue diagonali sono uguali

Definizione: Si dice rombo ogni parallelogramma che ha tutti i lati uguali. Le sue diagonali sono perpendicolari fra loro e sono bisettrici degli angoli interni del rombo.

Definizione: Si dice trapezio ogni quadrilatero che ha una coppia di lati opposti paralleli e gli altri due non paralleli.

Definizione: Dati un punto O ed un segmento r chiamiamo circonferenza il luogo geometrico dei punti equidistanti dal punto O (che viene chiamato centro), e cerchio il luogo geometrico dei punti che hanno una distanza minore o uguale a quella del segmento dato(che si chiama raggio).

Definizione: Si dicono corde i segmenti che uniscono due punti della circonferenza. Le corde passanti per il centro si dicono diametri.

Teorema: Il diametro è maggiore di qualsiasi corda non passante per il centro.

Dopo aver condotto due segmenti dai vertici della corda al centro si usa il teorema secondo il quale la somma di due lati di un triangolo è sempre maggiore del terzo lato.

Dopo aver unito i tre punti e tracciato gli assi dei segmenti così formatisi si scopre che l'intersezione degli assi è il centro della circonferenza.

Definizione: Una retta può essere secante ad una circonferenza, se ha due punti in comune con essa, tangente, se ha solo un punto in comune con 747b16h essa,ed esterna se non ha punti in comune con la circonferenza

Definizione: Due circonferenze possono essere fra loro esterne, se la distanza fra i loro centri è maggiore della somma dei loro raggi, tangenti esternamente, se la distanza dei loro centri è uguale alla somma dei loro raggi, secanti, se la distanza dei centri è minore della somma dei raggi, tangenti internamente, se la distanza dei centri è uguale alla differenza dei raggi, interne, quando la distanza dei centri è minore della somma dei raggi, e infine concentriche se hanno il centro in comune.

Definizione: Si dice angolo al centro ogni angolo avente come vertice il centro di una circonferenza.

Definizione: Si dice angolo alla circonferenza ogni angolo avente per vertice un punto di una circonferenza:

Teorema: Un angolo al centro è doppio di ogni angolo alla circonferenza che insiste su uno stesso arco. Questo teorema ha tre casi:

Il centro appartiene ad un lato dell'angolo alla circonferenza: questo caso si dimostra costruendo un triangolo ed il suo angolo esterno.

Il centro è interno all'angolo alla circonferenza: in questo caso si usa il primo caso dividendo in due con il diametro i due angoli facendo la somma di essi

Il centro è esterno all'angolo alla circonferenza: anche in questo caso si usa il primo caso dimostrato facendo però la differenza fra i due angoli trovati.

Corollario: Un angolo inscritto in una semicirconferenza è retto perchè è la metà di un angolo piatto al centro.

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