Prefazione

Questo elaborato ha l'obiettivo di valutare le proprietà di emissione di un sincrotrone ripercorrendo con attenzione l'articolo di David Park "Asymptotic Properties of Bessel Functions and the Radiation from a Synchrotron ". Il nostro lavoro non vuole, tuttavia, essere un trattato puramente fisico della problematica, quanto piuttosto un insieme di strumenti della matematica applicata, utili alla comprensione di tale questione.

Il percorso che proponiamo, parte dai richiami sulle funzioni di Bessel, essenziali al lettore, e si articola sostanzialmente in due parti.

Nella prima, vengono mostrate le principali proprietà di J_n(z), funzione di Bessel di prima specie, e le dimostrazioni essenziali, per non rendere l'analisi troppo laboriosa.

Nella seconda parte, dopo una breve introduzione sul sincrotrone, se ne valuta lo spettro di potenza, dipendente dalla funzione J_n(z), e si considerano le approssimazioni adatte al calcolo ed i comportamenti asintotici per grandi valori di z.

Si è inserita un'appendice nella quale sono riportati i risultati ottenuti mediante il calcolatore, in cui viene valutato il risparmio computazionale conseguito dall'uso di determinate espansioni, nonché i comportamenti per valori critici della lunghezza d'onda ed altri casi di particolare importanza applicativa.

Capitolo I

richiami sulle funzioni di bessel

Le funzioni di Bessel

Le funzioni di Bessel sono le soluzioni canoniche dell equazione:

[1]

chiamata per tale motivo Equazione di Bessel dove n un parametro reale o pi in generale complesso.

Tali funzioni ricoprono un importante ruolo nella risoluzione di problemi ingegneristici e presentano inoltre una forte analogia con le funzioni elementari esponenziali e trigonometriche che costituiscono le soluzioni di equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti

Come si può notare, l equazione di Bessel, è un equazione differenziale ordinaria del secondo ordine; per tale motivo, esisteranno due soluzioni linearmente indipendenti tali che si possa scrivere

Risulta quindi possibile distinguere due categorie di funzioni quelle del primo tipo, e quelle del secondo tipo.

Le funzioni del primo tipo, sono soluzioni dell Equazione di Bessel che hanno valore finito in z per n non-negativo; vengono indicate con J_n(z), ed una delle possibili forme

Dove G(z) la funzione di Eulero.

Le funzioni di Bessel del secondo tipo, sono soluzioni singolari dell Equazione di Bessel ed hanno valore infinito in z Sono cos definite

Per n n intero, J_n e J _n risultano essere linearmente dipendenti, e legati dalle seguenti relazioni:

Funzioni di Hankel

Le funzioni di Hankel sono  funzioni ottenute  attraverso  la combinazione lineare  di funzioni di Bessel di prima  e seconda  specie: ne esistono due tipologie, definite da :

Tali funzioni, vengono dette anche funzioni di Bessel di terza specie.

Funzioni di Bessel modificate

Le funzioni modificate di Bessel, sono funzioni di argomento complesso, ottenute a partire dalle funzioni di Bessel

Possiamo definire funzioni modificate del primo ordine

Queste possono essere viste come le soluzioni dell equazione differenziale di Bessel dove in luogo di z venga posto iz

Diversamente dalle funzioni di Bessel che sono oscillanti, le I_n e K_n divergono esponenzialmente e decadono esponenzialmente. Così come le equazioni di Bessel ordinarie J_n, la funzione I_n va a zero in z=0 per n > 0 ed è finita in z=0 per n=0. Analogamente , K_n diverge in z=0.

Relazioni tra le funzioni di Bessel di prima e terza specie

Nel corso della nostra trattazione risulterà utile la relazione tra la funzione di Bessel di prima specie J_n(z) e le due funzioni di Bessel di terza specie o funzioni di Hankel H_n (z) e H_n (z)

Questa relazione si ricava immediatamente dalla definizione delle funzioni di Hankel:

da cui si ricava quanto cercato

Derivazione e Formule di Ricorrenza

Un risultato importante circa le proprietà di derivazione, si  ottiene partendo dalla definizione di J formulata come serie:

Moltiplicando infatti questa serie per z^v e derivando si ottiene

Resta così provato che

Un altro risultato interessante si ottiene moltiplicando la [9] per z^-n e derivando. Con calcoli analoghi a quelli precedenti si trova

Dalla [10] e dalla [11] si deduce poi immediatamente

e l'analoga:

[13]

Sommando e sottraendo membro a membro la [12] e la [13] otteniamo rispettivamente

Risultati analoghi a quelli ottenuti possono stabilirsi anche per le funzioni di Bessel di Seconda specie e pertanto anche per qualsiasi combinazione lineare. Possiamo così concludere che i risultati [12], [13], [14] e [15] valgono per una qualsiasi funzione cilindrica, cioè per una qualsiasi soluzione dell'equazione di Bessel.

Proprietà degli zeri

Riportiamo qui alcune proprietà che soddisfano gli zeri positivi di J_v(z), indicati con j_n1 j_n2 . disposti sempre in ordine crescente.

Faremo riferimento anche agli zeri positivi della funzione cilindrica generale

dove A e B sono costanti reali.

Gli zeri  della funzione C_n(z) sono indicati con c_n1, c_n2. e sono anche essi disposti in ordine crescente.

Infine gli zeri di Y_n(z) sono indicati come y_n1, y_n2 . e sono, ugualmente, disposti in ordine crescente.

Un semplice risultato si ottiene immediatamente scrivendo l'equazione di Bessel in forma autoaggiunta

ed applicando ad essa il Teorema di Picone.

Si trova così che nessuna funzione cilindrica C_n(z) può avere carattere oscillante nell'intervallo in cui  

cioè nell'intervallo 0< z £ n

Da ciò si deduce che    c_n > n

Nel caso della funzione di prima specie J_n(z), il risultato può essere migliorato. Infatti poiché per n>0, il limite per z  0 risulta pari a

deduciamo che tra 0 e n non vi è alcuno zero della funzione J_n(z) e quindi

j_{v 1} > n

Con un ragionamento analogo si trova che il primo estremo relativo j'_n1 di J_n(z), che risulta essere un massimo, soddisfa la disuguaglianza

j'_n1 > n

e quindi, che più in generale vale la seguente doppia disuguaglianza

n < j_n1 < j'_n1

Infine riportiamo alcuni ulteriori risultati sugli zeri delle funzioni di Bessel, omettendo le  dimostrazioni per semplicità.

Si hanno la disuguaglianza di Schafheitlin

con n>0

e quelle di Laforgia e Muldoon

k=1, 2, . n>0

Valgono inoltre le seguenti rappresentazioni di Tricomi, per n

che, quando n assume valori alti fornisco valutazioni numeriche di j_n1 e y_n1 abbastanza precise.

Riportiamo qui una tabella con i primi zeri della funzione J_n(z)

Funzioni di Bessel per n = n+1/2

Un' altra importante caratteristica delle funzioni di Bessel si ha nel caso in cui l'ordine di queste ultime sia pari a n+1/2 dove n é un arbitrario numero intero. In tal caso infatti, sono esprimibili mediante funzioni elementari, il che porta a pensare che le funzioni cilindriche stesse siano una funzioni elementari.

Partendo dalla seguente :

con n=1/2 e sfruttando la formula di duplicazione :

si giunge al risultato :

é facile da quest'ultima evincere che :

Ponendo invece n=-1/2 e procedendo analogamente a prima, si ricava :

Sfruttando ora la nota formula di ricorrenza segue :

Analogamente per i valori negativi dell'ordine si ricava :

Questi risultati sono validi anche per le funzioni di Bessel di seconda specie; risulta inoltre che, per il teorema di Louville, le uniche funzioni di Bessel elementari sono quelle con ordine n+1/2 con n numero intero qualsiasi.

Capitolo II

ESPANSIONI ASINTOTICHE

Definizione di espansione asintotica

Una serie divergente:

in cui la somma dei primi (n+1) termini è S_n(z), è un'espansione asintotica di una funzione f(z) per un assegnato intervallo di valori di arg z, se l'espressione R_n(z)=zⁿ soddisfa la condizione:

ed inoltre

Se tali condizioni risultano verificate, abbiamo:

dove e è arbitrariamente piccola, avendo preso |z| sufficientemente grande.

Diciamo che la serie è un'espansione asintotica della funzione f(z), e scriviamo:

Formula approssimata per J_n(z)

Varie rappresentazioni delle funzioni di Bessel sono ottenute nella forma di serie di potenze crescenti di argomento z. Queste serie sono ben adatte al calcolo numerico quando z² non è confrontabile con 4(n n n+3).dal momento che le serie convergono in modo ragionevolmente rapido per questi valori di z. Al contrario, quando |z| è grande, le serie convergono lentamente, ed interrompere l'analisi ai primi termini di esse non permette un accurato calcolo approssimato di J_n(z). Vi è tuttavia un'eccezione a questa considerazione: quando n + ½ è un numero intero non grande, l'espressione di J_±n(z) in termini finiti permette alla funzione di essere calcolata senza difficoltà.

L'obiettivo è determinare delle formule che rendano possibile il calcolo del valore della funzione di Bessel quando z è grande. Una prima soluzione a tale problema venne proposta da Carlini[2], qualche anno prima della pubblicazione della trattazione di Poisson riguardo il comportamento di J₀(z) per grandi valori positivi di z.

L'espansione formale ottenuta da Poisson fu:

per grandi valori di z positivi. Dal momento che la serie a destra non converge, e dal momento che Poisson non propose alcuna analisi al riguardo, il suo risultato è da considerarsi più suggestivo e ingegnoso piuttosto che convincente. Hansen[4] diede un'analoga espressione per J₁(z); e qualche anno più tardi Jacobi ottenne la formula più generale:

Le espansioni di J₀(z) e J₁(z) furono impiegate da Hansel per scopi computazionali, ed un confronto fra i risultati da lui ottenuti ed i risultati conseguiti mediante l'uso delle serie crescenti, gli permisero di affermare che le espansioni, sebbene non convergenti, potevano essere tranquillamente adottate per il calcolo numerico.

Due anni prima della pubblicazione dell'espansione di Jacobi, Plana[6] scoprì un metodo per trasformare l'integrale di Parseval che diede una forma più soddisfacente all'espansione di J₀(z).

Il suo lavoro fu seguito dalle ricerche di Lipschitz[7], che produsse la prima rigorosa trattazione sull'espansione asintotica di J₀(z); Lipschitz estese brevemente i suoi risultati al generico caso di J_n(z). La formula generale di J_n(z), per un dato valore (complesso) di n ed un qualsiasi valore complesso e grande di z, fu ottenuta nel great memoir di Hankel[8] nel 1868.

Espansioni asintotiche per H_n (z) e H_n (z)

L'espansione asintotica di J_n(z) verrà ottenuta dalla relativa espansione della funzione di Hankel, sfruttando la notevole proprietà:

In riferimento alla rappresentazione integrale della funzione di Hankel:

valida quando -½ p < b < ½ p e -½ p b < arg z < 3/2 p b e R (n+ ½)>0.

L'espansione del fattore  in potenze decrescenti di z è:

ma dal momento che tale espansione non converge in tutto il percorso di integrazione, lo sostituiremo con un numero finito di termini più un residuo:

E' conveniente scegliere p così grande che R(n - p -½) ≤ 0; e sceglieremo un qualsiasi angolo positivo d tale da soddisfare le disuguaglianze:

L'effetto di tale scelta è che, quando d viene fissato, accade che:

e

dove Ap è indipendente da z.
Sostituendo l'espansione di  e integrando termine a temine, troviamo che:

dove

dove Bp è una funzione di n, p e d, indipendente da z. Perciò, quando
R(n - p -½)  < 0 e R (n + ½) > 0, si ha:

dove z è tale che -p d ≤ arg z ≤ 2p d, essendo d qualsiasi angolo acuto positivo; e il simbolo O è il simbolo di Bachmann-Landau che denota una funzione di ordine di grandezza z^-p quando |z| . La formula [1] è valida anche per R (n p - ½) > 0.

Se scriviamo:

l'espansioni diventano:

Per brevità le riscriviamo nel seguente modo:

Dal momento che (n, m) è comunque funzione di n, la restrizione R(n + ½) > 0 è superflua. Perciò le formule sono valide per tutti i valori di n

Espansioni asintotiche di J_n(z) e J_-n(z)

Combinando le formule [4] e [5] con la definizione di J_n(z) in termini di H_n(z), deduciamo le seguenti espansioni asintotiche:

[7]

Queste formule sono valide per grandi valori di |z|, e |arg z| < p; l'errore di approssimazione é dell'ordine di grandezza dell'ultimo termine considerato, moltiplicato per 1/z. In verità, il fattore 1/z può essere sostituito dal termine 1/z²; ciò può essere fatto considerando le espansioni di H_n (z) e H_n (z) a due termini in più rispetto a quello richiesto dalla particolare combinazione di cui dobbiamo occuparci.

Funzioni di Bessel di grande ordine

L'obiettivo è descrivere le proprietà, le formule approssimate e le espansioni asintotiche complete delle funzioni di Bessel; e queste proprietà verranno esaminate per funzioni di grande ordine. Trattando la funzione J_n(z), in cui n e z sono positivi, si suole suddividere il problema in tre casi, quando il rapporto z/n è minore, uguale o maggiore dell'unità. Il caso di funzioni di Bessel dall'argomento ed ordine molto grandi è di notevole interesse applicativo in molteplici campi; nella fisica del sincrotrone, per esempio, tali funzioni giocano un ruolo fondamentale ed è, pertanto, nostra intenzione analizzarle.

Il principio della fase stazionaria. Funzioni di Bessel di uguale ordine ed argomento

Il principio della fase stazionaria fu formalmente enunciato da Kelvin[9] negli studi di Idrodinamica, anche se l'essenza del principio è presente anche in alcuni lavori precedenti ad opera di Stokes, riguardo gli integrali di Airy e gli integrali di Parseval, e di Riemann.

Il problema che Kelvin si propose fu quello di individuare un'espressione approssimata per l'integrale

che esprime l'effetto, in funzione dello spazio e del tempo (x,t), di una perturbazione impulsiva all'istante t = 0 in x = 0, dove f(m) è la velocità di propagazione di onde bidimensionali nell'acqua corrispondenti ad una lunghezza d'onda pari a 2p/m. Il principio di interferenza proposto da Stokes e Reyleigh nel loro trattato sulla velocità di gruppo, suggerì a Kelvin che, per grandi valori di x - t f(m), le parti di integrale al di fuori dell'intervallo di valori di m (m - a,m + a), fossero trascurabili a causa dell'interferenza, se accade che m sia pari ad un valore di m per cui si abbia:

Fu visto da successive analisi che il principio di Kelvin afferma che, nel caso di un integrale di una funzione dal rapido comportamento oscillatorio, il termine dominante dell'integrale è dovuto all'intervallo di integrazione prossimo a quei valori per cui la fase della funzione trigonometrica considerata sia stazionaria.

Successivamente è stato notato che è possibile dare una prova matematica formale del principio di Kelvin, per un grande numero di funzioni oscillanti, utilizzando la generalizzazione di Bromwich[10] di un integrale di Dirichlet.

L'enunciato del teorema di Bromwich che verrà adattato alle funzioni di Bessel afferma quanto segue:

Sia F(x) una funzione di x totalmente limitata quando x ≥ 0; sia g una funzione di n tale che n g   se n Allora, se -1<m<1,

e se 0<m<1, il seno può essere sostituito dal coseno.

Questo metodo verrà impiegato per ricavare una formula approssimata per J_n n) per grandi valori positivi di n. Tale espressione fu scoperta da Cauchy[11], ed è la seguente:

Dalla rappresentazione integrale della funzione di Bessel di prima specie, risulta:

e poiché:

segue

Ponendo f = q - sinq, otteniamo:

Ma poiché:

se f^2/3 / 1 - cos q ha fluttuazioni limitate nell'intervallo (0,p), segue dal teorema di Bromwich che:

Ciò conferma l'espressione della [8].

Integrando per parti è possibile ottenere una seconda approssimazione per J_n n) e J'_n n) pari a:

Espansioni asintotiche delle funzioni di Bessel di ordine e argomento quasi uguale

Proseguiamo ora la trattazione nel caso di funzioni di Bessel quando l'ordine e l'argomento sono quasi uguali. Similmente al metodo adottato nel §2.3 ricaveremo l'espressione asintotica per J, a partire dalle funzioni di Hankel:

dove z e n sono numeri complessi di valore elevato in modulo, tali che la differenza |z-n| non sia grande. Risulta necessario assumere che tale differenza sia un o(z in modo tale che i termini di basso rango nell'espansione risultino piccoli.

Scriviamo:

Si ha:

Meissel e Airey ottenerono le seguenti espansioni asintotiche:

Da cui ricaviamo facilmente l'espansione per J:

Dove:

Formula approssimata valida nella regione di transizione

La formula ricavata nel paragrafo precedente non è valida nella regione di transizione; ciò spinse Nicholson ad approfondire le approssimazioni degli integrali di Bessel. Nel caso di funzioni di ordine intero n:

e, quando z ed n sono all'incirca uguali (essendo comunque grandi) segue dal principio della fase stazionaria di Kelvin (§2.6) che la parte dominante del percorso di integrazione è legata a piccoli valori di q. Sarà lecito approssimare sin q con q - 1/6 q³. Alla luce di tale considerazione, risulta:

L'ultima espressione è un integrale di Airy. Segue che per z < n :

E, quando z > n:

Dove gli argomenti delle funzioni di Bessel sono

Capitolo III

Il sincrotrone

Introduzione

Il sincrotrone è una macchina elettromagnetica proposta nel 1945 da E.M.McMillan e da V. Veksler per l'accelerazione di ioni fino a valori molto elevati dell'energia (centinaia di milioni di elettronvolt). Il principio di funzionamento è sostanzialmente quella di un ciclotrone modificato però in modo da rendere possibile il raggiungimento di energia per le quali divenga sensibile la variazione relativistica della massa degli ioni accelerati .

Come nel ciclotrone, infatti, gli ioni vengono mantenuti su orbite circolari mediante un intenso campo magnetico H, e la loro accelerazione viene realizzata a mezzo di un campo elettrico variabile nel tempo con pulsazione w. Indicando con e la carica degli ioni accelerati e con m la loro massa, la condizione che deve essere soddisfatta affinché si abbia il sincronismo tra il variare del campo elettrico ed il periodo di rotazione delle particelle stesse, è espressa dalla relazione:

dove c indica la velocità della luce. Quando però la velocità v degli ioni assume valori per cui diventa sensibile la variazione della massa:

[I]   

la condizione di sincronismo [I] può essere mantenuta solo mediante uno dei seguenti artifici:

facendo decrescere il valore della pulsazione w del campo elettrico

aumentando proporzionalmente il campo magnetico H

Nel sincrotrone si fa uso di quest'ultimo accorgimento.

Il sincrotrone è particolarmente adatto all'accelerazione di ioni leggeri (elettroni). Questi infatti possono esservi iniettati ad una velocità già prossima a quella della luce in modo da muoversi poi nella macchina a velocità praticamente costante e circa uguale a c. In questo caso, poiché rimane costante pure w, le orbite percorse saranno dei cerchi a raggio costante.

Lo spazio in cui si devono muovere gli ioni, può nel sincrotrone, essere ridotto ad un anello cavo, immerso entro un campo magnetico generato tra le espansioni polari di forma anulare di un elettromagnete. Entro questo anello, nel quale si pratica un vuoto molto spinto, trovano posto quattro elettrodi cavi collegati a coppie alterne ad un generatore ad alta frequenza.

Nei paragrafi seguenti, saranno riproposti i passaggi relativi al calcolo della potenza di un sincrotrone presentati nell'articolo di David Park.

La radiazione

L'emissione di una radiazione elettromagnetica da parte di un elettrone che si muova lungo un'orbita circolare (sotto l'azione di un campo magnetico) ha comportato un'attenta discussione matematica, e si è dimostrato che se la velocità angolare dell'elettrone lungo la sua orbita, w₀ , è presa come fondamentale, la potenza totale irradiata dall'n-esima armonica è:

dove e è la carica dell'elettrone, R il raggio della sua orbita, e b la sua velocità espressa come frazione della velocità della luce c.

Schwinger studiò il comportamento asintotico di questa espressione all'aumento di n e al tendere di b all'unità. Segue abbastanza semplicemente dalla [10] del §2.6, che per n molto grande, ma minore di un critico n, nelle vicinanze di (1- b²)^-3/2, la potenza P_n aumenta con n in accordo con:

[2]

e che per n maggiori, essa decresce bruscamente a valori bassi. Una notevole proprietà che ne segue è che per gli esistenti acceleratori di particelle ad alta energia n_C raggiunge 10⁷, e parte della radiazione è visibile ad occhio nudo.

Per valori di n nell'intorno di n_C (entrambi i limiti), Schwinger ne diede l'approssimazione con riferimento alle formule di Nicholson:

Dove K è la funzione di Bessel così definita da Watson e n_C = 3/2 (1 - b²)^-3/2.

L'integrale é stato risolto numericamente e la soluzione trovata è in buon accordo con l'esperimento. La procedura matematica possiede due svantaggi comunque: l'accuratezza delle approssimazioni di questo genere sono sconosciute, e che è richiesta un integrazione numerica infinita.

Lo scopo è, pertanto, quello di investigare il comportamento della funzione J_n(z) nella regione critica di z nelle vicinanze di n quando n è molto elevato, e sfruttare la formula risultante per stimare la [1] con una determinata accuratezza e in una forma adatta al calcolo.

Il comportamento di J_n(z) nella regione critica

La questione relativa alla stima di J_n(z) per valori reali molto elevati di n ed z nelle vicinanze di n è stata studiata in dettaglio, ma le formule risultanti non sono solo poco pratiche, ma in alcuni casi non si sa neanche in che misura esse siano esatte. Dovremmo quindi affrontare la questione da un punto di vista differente, e provare ad espandere la funzione J_n n e) in potenze di e. Per far ciò useremo il valore asintotico di J_v e le sue derivate nel punto n. Per trovarle cominciamo con l'espressioni ottenute nel §2.6:

e otteniamo le derivate di ordine superiore dall'equazione differenziale di Bessel:

Differenziandola n volte otteniamo:

di cui i termini dominanti quando n diventa grande, sono:

Trascurando i secondi termini della [3] e della [4], già abbastanza accurati per n=10, possiamo scrivere:

[6]

dove la costante C vale:

E successivamente i primi termini dello sviluppo in serie di Taylor sono pari a:

Si trova inoltre che l'esponente di n deriva dall'iterazione di [5] ridotta di un'unità per ogni tre step di n. Ponendo e uguale a a n^1/3 nella [7] e omettendo i termini proporzionali a n , si ottiene:

Da cui otteniamo il

TEOREMA: La quantità:

é, asintoticamente, una funzione della sola a Questa funzione è graficata come f(a) in Fig.1.

Fig.1

Avremo bisogno anche della corrispondente espressione per la derivata:

e per l'integrale, che possiamo scrivere come:

[10]

Il primo di questi è stato quantificato da Watson:

di cui possiamo considerare il solo primo termine. Inoltre, abbiamo

Perciò la [10] è

[13]

Per quanto riguarda l'accuratezza del metodo di approssimazione, è possibile trovare il prossimo termine nell'espressione della quale abbiamo dato i termini fondamentali attraverso i successivi coefficienti della [3], [4], [5] e [11], ma il loro contributo sarebbe trascurabile per i risultati che stiamo cercando.

Lo spettro di Radiazione

Possiamo adesso tornare alla [1] e calcolarla come serie di potenze in a. Per prima cosa, comunque, possiamo osservarne alcuni aspetti generali. Possiamo supporre che b sia strettamente prossima all'unità, e scrivere

Per l'energia relativistica dell'elettrone in termini di energia a riposo. Ora per un dato n e E (>>E₀), possiamo trovare il valore corrispondente del parametro a

Oppure

E' chiaro che a rimane prossimo allo zero all'aumentare di n fintanto che esso non raggiunge valori nelle vicinanze di:

per cui si ha a

Al di sotto di n_C possiamo adottare la forma asintotica della [4] e della [11] nella [1], e P_n aumenta con n approssimativamente in accordo con la [2]. Al di sopra di n_C, P_n inizia a decrescere. L'espressione finale per P_n si trova sostituendo i risultati ottenuti nella [1]. Risulta

nella quale, attraverso la [15] e la [16],

e

Per n = n_C, cioè a = -1, la potenza scende a 0.321 (P_n)_as.

Possiamo anche scrivere la [17] come

o, dalla [16],

Questo aumenta con a finché non raggiunge un massimo per a = 0.41 corrispondente ad n = 0.37 (E/E₀)².

La funzione (-a)^1/2F(a) è graficata in Fig.2. E' notevole che l'armonica per la quale la radiazione è massima, è una funzione della sola velocità dell'elettrone nella sua orbita.

Fig.2

Appendice A

Mathematica 5.1, strumento di calcolo

Introduzione

In questa appendice verranno approfonditi i calcoli relativi alla validità delle espansioni asintotiche per le funzioni di Bessel. Saranno inoltre esaminati più a fondo i calcoli affrontati nel Capitolo III.

A.1 Espansioni asintotiche e loro validità

Si vuole analizzare la validità dell'approssimazione asintotica della funzione di Bessel J_n n) per grandi valori di n. Si farà riferimento alla funzione di Bessel di prima specie e alla sua espansione asintotica fornita da Watson. Si andranno ad analizzare, inoltre, i tempi di elaborazione del programma Mathematica nel valutare tali funzioni, per evidenziare le sostanziali differenze che esistono tra la valutazione della funzione esatta e la sua approssimazione.

Riportiamo qui di seguito l'espressione della funzione di Bessel di prima specie e l'espressione della sua espansione asintotica fornita da Watson:

Andiamo a valutare l'andamento di entrambe le funzioni, presentate in un intervallo tale da evidenziare la tendenza delle due ad assumere valori sempre più vicini tra loro, con relativa diminuzione dell'errore commesso nell'approssimazione. Ciò a cui siamo interessati è il comportamento della funzione J_t(n) per t e n aventi lo stesso valore e al crescere di n

Definendo la differenza in valore assoluto tra le funzioni, si può vedere come l'errore commesso diminuisca notevolmente al crescere di n, fino a raggiungere valori molto piccoli.

Già per n dell'ordine di 10³ si commette un errore dell'ordine di 10^-10, e tale errore diminuisce ancora al crescere di n verso valori molto grandi, come mostrato di seguito:

E' interessante vedere come le espressioni asintotiche per le funzioni di Bessel siano decisamente più adatte al calcolo, rispetto alla valutazione esatta della funzione stessa. Si può ottenere una buona approssimazione con tempi di elaborazione anche molto differenti. Quanto illustrato può essere implementato utilizzando la funzione "Showtime" offerta dal programma Mathematica

Da questo primo esempio si può vedere come il tempo di risposta per la valutazione della forma approssimata sia del tutto trascurabile, mentre la forma esatta impiega un certo tempo per fornire un valore identico nelle prime 8 cifre.

Andiamo ora a vedere come variano i tempi per valori di n maggiori, anche di alcuni ordini di grandezza.

Quest'ultimo esempio mostra una differenza notevole nei tempi di elaborazione. Per ottenere valori ben approssimati nelle prime 11 cifre, la forma esatta impiega circa 40 minuti, a differenza dei 16 millisecondi della forma approssimata

A.2 Comportamento di J_n n) nella regione critica

In questo paragrafo verranno ripercorsi i calcoli eseguiti nel §3.3.  A tal scopo presentiamo lo sviluppo in serie di Taylor della funzione J_n n+e

Lo sviluppo in serie presenta termini in J_n n) e (J_n-1 n) - J_n+1 n)). Sfruttiamo la notevole proprietà per cui:

Ed utilizziamo l'espansione asintotica:

Ciò che si ottiene è il prodotto della funzione J_n n) moltiplicata per un termine che è funzione di n ed e. Sostituendo ad e la quantità a n e trascurando i termini proporzionali a n , giungiamo alla definizione della funzione f(a

Cerchiamo di studiare la funzione f(a Questa funzione viene utilizzata per stimare il comportamento di J_n n an )/J_n n utile all'approssimazione dell'integrale della potenza del sincrotrone. Il lavoro di Park dimostra come la funzione f(a possa essere rappresentata anche attraverso una funzione tabulata, la funzione di Airy.

Verifichiamo a questo punto la validità delle approssimazioni adoperate da Park, ma soprattutto la loro utilità nel ridurre la difficoltà di calcolo.

Riportiamo qui di seguito l'espressione della funzione f(a), la sua approssimazione in serie e la sua rappresentazione tabulata. Utilizzeremo lo sviluppo in serie di Taylor fino al decimo ordine:

Sostituiamo a n un valore alto per attestare la validità delle approssimazioni (per problemi di tempi di esecuzione non possiamo un valore superiore a 10³).

Grafichiamo, quindi, l'andamento delle funzioni, considerando un intervallo tale da evidenziare la tendenza delle stesse ad assumere valori sempre più vicini tra loro, con relativa diminuzione dell'errore commesso nell'approssimazione, per valori di a prossimi allo 0.

Andamento della [1]

Andamento della [2]

Andamento della [3]

Consideriamo la funzione differenza tra la [1] e la [2] e tra la [1] e la [3]. In questo modo siamo in grado di studiare meglio il loro andamento nella zona di interesse, osservando per quali valori l' approssimazione risulta valida.

Esaminiamo come primo caso l'approssimazione attraverso la serie di Taylor.

Il grafico mostra, in modo netto, che, utilizzando l'approssimazione in serie, anche solo sino al decimo ordine, invece della funzione reale, per i valori di a che ci interessano, si commette un errore trascurabile, quasi del tutto nullo. Infatti l' errore di approssimazione risulta essere nullo per a che tende a zero,mentre per i valori -1 e 1 abbiamo rispettivamente un errore pari a -0. 000778092 e -0. 0013711.

Consideriamo ora, la funzione di Airy e studiamo l'andamento della differenza con la funzione reale [1].

Il grafico mostra, che la funzione di Airy, è una buona rappresentazione per un intervallo di a prossimo all'origine e, rispetto allo sviluppo in serie, segue più fedelmente la [1] per valori di a maggiori di 2.

Ciò si otterrebbe anche con lo sviluppo in serie andando a considerare sviluppi di ordine maggiore.

Le approssimazioni impiegate da Park risultano essere molto utili nello studio della potenza emessa dal sincrotrone, in quanto semplificano di molto i calcoli, senza far perdere, però, di generalità e precisione i suoi risultati.

A questo punto valuteremo l'entità dell'integrale [10] §3.3.

Il primo di essi ([11] §3.3) presenta la seguente espansione asintotica:

Mostriamo l'andamento della funzione esatta e della sua approssimazione per verificare la validità di tale espansione:

Analogamente a quanto fatto precedentemente, definiamo una funzione differenza e valutiamo l'errore di approssimazione come segue:

Per il calcolo del secondo integrale, segue dalla [12] §3.3 il calcolo della seguente:

Mostriamo nuovamente gli andamenti dell'integrale esatto e della sua espansione (a

In definitiva l'integrale della formula [10] §3.3, sarà dato dalla somma dei due integrali [11] e [12]:

A.3 Lo spettro di radiazione

In riferimento al §3.4, mostriamo l'andamento della funzione (-a)^1/2F(a) e proponiamo un semplice studio del massimo.

Il cui massimo [13] relativo all'intervallo [0,1.5] si ha per:

a

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