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Esperienza di laboratorio - Misurazione della densità di un solido

fisica

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Esperienza di laboratorio 

Misurazione della densità di un solido

                                                                                     

Obiettivo:

Determinazione della densità di un solido: ρ= m/V

Si raccoglie un campione sufficientemente consistente di dati per ogni dimensione dell'oggetto analizzato. Lo scopo è quello di verificare il modello geometrico del solido e scegliere di conseguenza la formula più adatta per il calcolo del suo volume.

Dopo aver stabilito di che solido si tratta e averne calcolato correttamente il volume e la sua incertezza tramite la propagazione dell'errore, si può effettuare la misurazione della massa. Si procede con il calcolo della densità e della sua incertezza. Il valore ottenuto deve essere confrontato con valori tabulati riferiti alla densità di metalli e leghe noti.

Materiali:

Solido cilindrico

Solido a forma di parallelepipedo a base rettangolare

Strumenti:

- Calibro a cursore digitale, con sensibilità di 0.01 x 10-3 m e fondoscala .....................

Attraverso questo strumento è possibile determinare diametri interni ed esterni, spessori etc. Si è scelto di utilizzare il calibro a cursore digitale per misurare il diametro del primo solido, poiché la minore superficie delle ganasce dello strumento, permette una migliore approssimazione dell'arco di circonferenza con la retta tangente.

Si è utilizzato lo strumento anche per la misurazione dell'altezza del parallelepipedo, poiché il palmer digitale non consente di misurare questa dimensione con particolare precisione.

-Bilancia elettronica con sensibilità di 0.1 x 10-3 Kg

-Palmer digitale, con sensibilità  0.01 x 10-3 m e fondoscala 2,5 x 10-3 m.

Sì è utilizzato il palmer per la misurazione delle basi del parallelepipedo.

Teorie fisiche necessarie per capire:

Per il corretto svolgimento dell'esperienza di laboratorio sono necessarie le formule per il calcolo del volume e della densità del solido.

Avendo verificato che i due diametri perpendicolari di ogni base risultano consistenti tra loro è opportuno considerare il solido esaminato un cilindro.

Il calcolo del volume quindi è possibile attraverso la formula:

 

V= l (d/2)2π

Il secondo solido è invece un parallelepipedo a base rettangolare e il calcolo del suo

    volume segue la formula:

V= (l1 x l2)h => V= b h

La densità di un qualsiasi solido, supponendo uniforme la distribuzione della massa, è data dalla formula:

ρ= m/V

Descrizione del procedimento per il solido cilindrico:

Dopo aver scelto lo strumento più adatto e aver effettuato la procedura di azzeramento sullo stesso,  si procede con la raccolta di circa 30 misure lungo l'altezza dell'oggetto, per ognuno dei due diametri perpendicolari scelti.

L'analisi statistica dei due campioni di misure permette di determinare il valore medio e

l' incertezza di ognuno.

Se i valori medi sono consistenti è verificato il modello geometrico di tipo cilindrico del solido considerato e, attraverso la media pesata tra i due, si ottiene la migliore stima del diametro della base del cilindro, da utilizzare per il calcolo del volume.

Si procede raccogliendo un campione di circa 30 misure anche per l'altezza del cilindro e, attraverso lo stesso procedimento si ottiene un valore medio e la sua relativa incertezza.

Infine, occorre determinare la massa del solido, raccogliendo un campione di sole 5 misure, poiché la sensibilità al decimo di grammo non permette di ottenere valori molto distanti tra loro e non sarebbe perciò possibile dividere il campione in classi e stabilirne la compatibilità con una popolazione gaussiana.

Quindi, per calcolare la stima migliore del valore della massa del solido, si esegue la media aritmetica tra le misure raccolte e si confronta la semi-dispersione con la sensibilità dello strumento, utilizzando come incertezza l'errore maggiore.

Avendo a disposizione tutti i valori medi dei campioni raccolti, si possono calcolare il volume e la densità del solido e le relative incertezze attraverso la teoria della propagazione dell'errore.

Il valore della densità così ottenuta risulta consistente con il valore tabulato, se la discrepanza risulta minore dell'incertezza calcolata precedentemente.

Dati raccolti e analisi statistica:

-         misure raccolte del primo diametro

Xi (10-3  m)

Numero ripetizioni

12,01

1

12,02

1

12,04

6

12,05

3

12,06

6

12,07

3

12,08

6

12,09

3

12,1O

1

Xmedio= Σ (Xi - x) / Ntot                               Sx =   Σ (Xi - x)2 / Ntot - 1

Xmedio= 12,0613 x10-3 m.         Sx= 0,0218 x10-3 m.

per la suddivisione in classi è stato utilizzato un parametro δ = (Xmax - Xmin)/ Nclassi

δ= 0,0225  x10-3 m

suddivisione in classi:                                                                           Ok           

1* classe= (Xmedio -3δ; Xmedio -2δ) = ( 11,9938; 12,0163)                            1            

2* classe= (Xmedio-2δ; Xmedio -δ) = ( 12,0163; 12,0388)                             1            

3* classe= (Xmedio-δ; Xmedio) = ( 12,0388; 12,0613)                                    15

4* classe= (Xmedio; medio+δ) = ( 12,0613; 12,0838)                                      9

5* classe= (Xmedio+δ; Xmedio+2δ)= ( 12,0838; 12,1063)                               4

Le prime due classi contengono soltanto una misura ciascuna, perciò si possono unire.

suddivisione in classi:                                                                             Ok              Ek

1* classe= (Xmedio -3δ; Xmedio -δ) = ( 11,9938; 12,0388)                              2            4,545

2* classe= (Xmedio-δ; Xmedio) = ( 12,0388; 12,0613)                                    15         10,455

3* classe= (Xmedio; Xmedio+δ) = ( 12,0613; 12,0838)                                    9          10,455

4* classe= (Xmedio+δ; Xmedio+2δ)= ( 12,0838; 12,1063)                               4            4,545

Ora bisogna eseguire il test del "chi quadro" per verificare la gaussianità del campione.

X2 = Σ[(Ek -  Ok)2 / Ek]                                                Ek = Ntot  f(z) dz

X2tot = 3,6685 è minore di 3,84, quindi la confidenza risulta minore del 95% e possiamo concludere che il campione è compatibile con una popolazione gaussiana.

Quindi possiamo calcolare la deviazione standard sulla media come

Sx/ √ Ntot = 0.004 x10-3 m.

Dal confronto del valore ottenuto con la sensibilità dello strumento si deduce che

0.004 x10-3 m < 0.01  x10-3 m,

quindi si deve utilizzare la sensibilità dello strumento come incertezza sulla media.

X = ( 12,06 ± 0,01 )  x10-3 m

-misure raccolte del secondo diametro

Xi (10-3  m)

Numero ripetizioni

12,OO

3

12,01

1

12,02

2

12,03

5

12,04

4

12,05

6

12,06

5

12,07

1

12,08

2

12,09

1

Xmedio= 12,0427 x10-3 m.         Sx= 0,0235 x10-3 m.

suddivisione in classi:                                                                                 Ok 

1* classe= (Xmedio -2Sx; Xmedio -Sx) = ( 11,9957; 12,0192)                            4

2* classe= (Xmedio-Sx; Xmedio) = ( 12,0192; 12,0427)                                    11

3* classe= (Xmedio; Xmedio +Sx) = ( 12,0427; 12,0662)                                   11

4* classe= (Xmedio +Sx); medio+2Sx) = ( 12,0662; 12,0897)                             3         

5* classe= (Xmedio+2Sx ; Xmedio+3Sx)= ( 12,0897; 12,1132)                          1   

L'ultima classe contiene solo una misura e può quindi essere accorpata alla quarta

suddivisione in classi:                                                                                Ok          Ek

1* classe= (Xmedio -2Sx; Xmedio -Sx) = ( 11,9957; 12,0192)                            4        4,761

2* classe= (Xmedio-Sx; Xmedio) = ( 12,0192; 12,0427)                                    11     10,239

3* classe= (Xmedio; Xmedio +Sx) = ( 12,0427; 12,0662)                                   11      10,239

4* classe= (Xmedio +Sx); medio+3Sx) = ( 12,0662; 12,1132)                             4        4,761

Ora si procede con il test del "chi quadro" per verificare la compatibilità del campione con una popolazione di tipo gaussiano.

X2 = Σ[(Ek -  Ok)2 / Ek]                                                Ek = Ntot  f(z) dz

X2tot = 0,3564 è minore di 2,71, quindi la confidenza risulta minore del 90% e possiamo accettare l'ipotesi di gaussianità.

Quindi possiamo calcolare la deviazione standard sulla media come:

Sx/ √ Ntot = 0.004 x10-3 m.

Dal confronto del valore ottenuto con la sensibilità dello strumento si deduce che:

0.004 x10-3 m < 0.01  x10-3 m,

quindi si deve utilizzare la sensibilità dello strumento come incertezza sulla media.

X = ( 12,04 ± 0,01 )  x10-3 m

- misure raccolte dell'altezza

Xi (10-3  m)

Numero ripetizioni

40,17

4

40,18

12

40,19

5

40,2O

2

40,21

2

40,22

1

40,23

2

40,24

1

40,25

1

Xmedio= 40,1927 x10-3 m.         Sx= 0,0218 x10-3 m.

suddivisione in classi:                                                                                 Ok             Ek

1* classe= (Xmedio -2Sx; Xmedio -Sx) = (40,1491; 40,1709)                              4          4,761

2* classe= (Xmedio-Sx; Xmedio) = (40,1709; 40,1927)                                      12        10,239

3* classe= (Xmedio; Xmedio +Sx) = (40,1927; 40,2145)                                      9         10,239

4* classe= (Xmedio +Sx); medio+2Sx) = (40,2145; 40,2363)                               3           4,077

5* classe= (Xmedio+2Sx ; Xmedio+3Sx)= (40,2363; 40,2799)                            2           0,684

Ora è necessario procedere con il test del "chi quadro" per verificare la gaussianità del campione di dati raccolto

X2 = Σ[(Ek -  Ok)2 / Ek]                                                Ek = Ntot  ∫f(z) dz

X2tot = 3,39 è minore di 3,84, quindi la confidenza risulta minore del 95% e possiamo concludere che il campione di misure è sufficientemente gaussiano.

Quindi possiamo calcolare la deviazione standard sulla media come:

Sx/ √ Ntot = 0,004 x10-3 m.

Dal confronto del valore ottenuto con la sensibilità dello strumento si deduce che:

0.004 x10-3 m < 0.01  x10-3 m,

quindi si deve utilizzare la sensibilità dello strumento come incertezza sulla media.

X = ( 40,19 ± 0,01 )  x10-3 m

-misure effettuate sulla massa

Xi (10-3  Kg)

Numero ripetizioni

12,5

2

12,4

3

Xmedio= 12,44 x10-3 Kg.       Semi-dispersione= Xmax - Xmin / 2 = 0,05  x10-3 Kg

La semi-dispersione è minore della sensibilità dello strumento, perciò tengo in considerazione l'incertezza generata dalla bilancia.

X = ( 12,4 ± 0,1) x 10-3 Kg

Concluso il calcolo statistico dei campioni di misure raccolte, si procede nel calcolo del volume del solido. Per farlo è necessario eseguire la media pesata tra le misure dei due diametri, che sono risultate consistenti, per ottenere il valore best da assegnare al diametro e poter utilizzare il valore ottenuto nel calcolo del volume del cilindro.

      Σ Xi/(Sxi)2                                                                           12,06/(0,01)2 + 12,04/(0,01)2

X= --------------                         =>     X=  ---------------------------------------- = 12,05  x 10-3 m.

      Σ  1/(Sxi)2                                                                                        1/(0,01)2 + 1/(0,01)2

l'errore sulla media pesata si calcola attraverso la formula:

√1/[Σ  1/(Sxi)2]     =>        √1/[1/(0,01)2 + 1/(0,01)2]  = 0,007  x 10-3 m

la misura ottimale del diametro è d = (12,050 ± 0,007) x 10-3 m.

Ora sono disponibili tutti i dati per il calcolo della densità e calcolo il suo valore best, utilizzando i valori medi delle grandezze misurate:

ρ = m / V   =>     ρ = 12,4/ [ (12,050 x 10-3/2)2 π L ] = 2,70  x 103  Kg/m3

nella formula sono presenti soltanto prodotti e quozienti, perciò ,se ne calcola l'errore relativo massimo attraverso la seguente formula, considerando che le misure non sono indipendenti poiché è stato utilizzato lo stesso strumento per misurare il diametro e l'altezza:

δρ

-----max  =  (δm/|mbest|) + ( δd/|dbest|) + ( δL/|Lbest|)           =>                                                                  

ρbest

(0,1/12,4) + (0,007/12,050) + (0,01/40,19)   =  0.009

per calcolare l'errore assoluto, devo moltiplicare l'errore relativo sulla densità, per il suo valore medio:

          δρ

  δρ= ----- ρbest     =>       δρ= 0,009 x 2,70 x 103 = 0,02 x 103 Kg/m3                                                      

         ρbest

Conclusioni:

per soddisfare gli obiettivi bisogna confrontare la densità ottenuta con quella tabulata, dove l'unità di misura non è però nel sistema Kms, ma nel sistema di misura "cgs".

Si converte il valore tabulato nel sistema Kms.

Valore tabulato che più si avvicina al valore ottenuto: 2,6970 g/cm3 = 2,6970  x 103 Kg/m3

per vedere se il valore tabulato e quello ottenuto sono consistenti, si calcola la discrepanza. Il valore assoluto della differenza dei due valori, deve essere minore dell'incertezza totale che coincide con quella relativa alla densità calcolata, poiché il valore tabulato non è affetto da errore.

|2,70 - 2,6970| < 0,02    =>  0,003 < 0,02

Si può quindi affermare che il solido è di alluminio

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