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Corso di Esperimentazioni di Fisica II - Misura della distanza focale di un sistema diottrico

fisica


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Corso di Esperimentazioni di Fisica II

Relazione sull'esperienza del 1-2-2000

Misura della distanza focale di un sistema diottrico centrato mediante la verifica della legge dei punti coniugati e con i metodi di Bessel e Abbe



Gruppo di Lavoro :

Selma Conforti Di Lorenzo

Giuseppe Turano

dr. Barnaba Fabio

ESPERIENZA N° 3 : MISURA DISTANZA FOCALE DI UN SISTEMA DIOTTRICO CENTRATO

OBIETTIVO:

            Determinazione della distanza focale di un sistema ottico, formato da una lente convergente biconvessa e da una lente divergente a menisco, utilizzando 3 metodi diversi:

·         Metodo della legge dei punti coniugati;

·         Metodo di Bessel;

·         Metodo di Abbe.

STRUMENTI :

  • N° 1 Banco ottico.
  • Il banco ottico è costituito da una guida metallica su cui è incisa una scala graduata (in millimetri) e sulla quale possono scorrere:
  • Un Proiettore al quale può essere fissato un filtro che servirà ad evidenziare l'oggetto dal fascio luminoso. Il proiettore poggia su un cavaliere dotato di indice per identificare la posizione del proiettore stesso sulla scala graduata;
  • Un Portalenti che è il sistema che servirà a mantenere insieme le due lenti citate e dotato anch'esso di indice per individuare la posizione sulla scala;
  • Uno Schermo recante una carta millimetrata.

                                                                                                                                                 

                                                                              Portalenti                                                   Schermo

           Proiettore

INTRODUZIONE TEORICA:

Un sistema diottrico centrato è costituito da più lenti semplici aventi l'asse ottico in comune. Le superfici di tali lenti possono essere a contatto oppure separate. Tale sistema ha sei punti cardinali: i due fuochi, i due punti principali e i due punti nodali.Di questi sei punti quattro sono importanti per questa esperienza: si definisce primo fuoco di una lente o di un sistema di lenti il punto oggetto, posto sull'asse della lente, la cui immagine è all'infinito. Il piano che passa per il fuoco è 414d34e detto primo piano focale.  L'intersezione fra i prolungamenti dei raggi provenienti dal primo fuoco della lente e quelli emergenti nel secondo mezzo individuano un piano detto primo piano principale. In fine l'intersezione fra asse ottico e piano principale da' il punto principale. Analogamente si definiscono il secondo piano focale e il secondo piano principale.In un sistema diottrico la distanza focale f1 è la distanza tra il fuoco è il primo piano principale, analogamente per f2 .L'equazione di una lente semplice immersa in aria è:

                    per la prima faccia.

L'immagine di questa è oggetto per la seconda faccia secondo la relazione o ' =d - i dove d è la distanza fra i due centri ottici delle lenti, se la lente è sottile ponendo d » 0 si ottiene:

               per la seconda  faccia.

Infine sommando le due espressioni si ha l'equazione della lente sottile immersa in aria:

Nella lente sottile i due piani principali coincidono con il centro della lente, quindi le distanze focali vanno determinate a partire dal centro. Nell'esperienza si fa l'approssimazione di lente sottile. In generale

          (lente convergente)

Per lenti sottili si pone d » 0.


PROCEDIMENTO :


            Come primo mezzo, per calcolare la distanza focale del sistema diottrico useremo la legge dei punti coniugati:

otterremo f dalla misura di i ed o.

Le misure sono state effettuate nel seguente modo: si è posto l'oggetto all'estremità sinistra del banco annotando la posizione x0, quindi si è portato lo schermo all'estremità opposta annotando la posizione xs.

Le posizioni sia nel caso della lampada - oggetto sia nel caso dello schermo sono le ascisse evidenziate dall'indicatore del cavaliere che permette lo spostamento degli oggetti  sulla base di metallo.

Dopo queste operazioni preliminari si è posizionata la lente in prossimità dell'oggetto e la si è allontanata sino ad ottenere sullo schermo una immagine a fuoco dell'oggetto. Risulta ben presto evidente che l'immagine è a fuoco in più punti e quindi a diverse distanze lampada - lente ed lente - schermo, a causa di questo fenomeno (profondità di campo) abbiamo rilevato gli estremi dell'intervallo di 'messa a fuoco' e nei calcoli successivi ci si è limitati a considerare il punto medio di tale intervallo.

E' questa una prima approssimazione che facciamo; un'ulteriore approssimazione che è stata compiuta implicitamente senza essere chiarita è dovuta alle distanze che sono calcolate rispetto agli indici dei cavalieri; nella caso della lente, ad esempio, vi è mancanza di corrispondenza tra centro geometrico della lente e indice del cavaliere, ciò implicherebbe che le misure che abbiamo effettuato non sono quelle cui noi siamo interessati (noi siamo interessati alle distanze dai piani principali). A questo punto entra in gioco l'ulteriore approssimazione citata che permette di considerare il sistema diottrico come un sistema di lenti sottili e ciò implica che le distanze possiamo calcolarle dal centro della diottro (che dovremo calcolare sommando un DxG al valore fornito dall'indice del cavaliere).

A questo punto è facile dedurre il valore di o ed i come rispettivamente distanza lampada-centro della lente e centro della lente - schermo e quindi applicando questi valori alla legge dei punti coniugati otteniamo il valore di f.

Per quanto riguarda le procedure di misure del secondo metodo ( metodo di Bessel) abbiamo posizionato l'oggetto all'estremità sinistra del banco annotando la posizione x0, quindi si è portato lo schermo all'estremità opposta ad una distanza L dall'oggetto maggiore o uguale al valore 4f (f è la distanza focale stimata dal primo metodo); si è sistemata la lente in modo tale da avere una immagine a fuoco sullo schermo.

Anche in questo caso, a causa della profondità di campo, abbiamo ottenuto un campo di messa a fuoco, abbiamo annotato le posizioni estreme dell'intervallo di messa a fuoco.


Otterremo il valore di f, sostituendo il valore di L ed il valore di a nella formula:

con a si intende la differenza tra le distanze o che si vengono a creare in corrispondenza di un intervallo di messa a fuoco.

Infine con il terzo metodo (metodo di Abbe) abbiamo innanzitutto misurato la dimensione trasversale y dell'oggetto quindi fissato l'oggetto all'estremo sinistro della barra e posizionando la lente ad una distanza maggiore della distanza focale si è spostato lo schermo sino ad ottenere l'immagine messa a fuoco. A questo punto si è misurata la dimensione y1 dell'immagine sulla carta millimetrata predisposta sullo schermo, e quindi si è calcolato l'ingrandimento:


 Si è ripetuto il procediemtno per una distanza x2 dell'indice della lente dall'oggetto trovando:


È stato quindi calcolata la distanza focale dalla formula:


Abbiamo ripetuto questa operazione per più coppie di punti.

STIMA DEGLI ERRORI A PRIORI :

            Per ciò che riguarda una stima aprioristica degli errori, possiamo affermare che a causa del notevole spessore delle tacche incise sulla barra la nostra lettura sarà affetta da un errore casuale      ( che poniamo ) pari a 2 mm.

Inoltre per la non conoscenza della esatta posizione dei piani principali imponiamo un errore di 1cm.

ANALISI DEI DATI :

            Prima di tutto ai valori di xs ed xl trovati aggiungiamo il valore DxG della posizione del centro ottico del sistema. Ora conoscendo x0 ascissa dell'oggetto, xl ascissa della lente ed xS ascissa dello schermo ci calcoliamo o ed i tramite le relazioni:


Quindi trovati i valori di i ed o si costruisce il grafico secondo la legge dei punti coniugati e lo si confronta con quello teorico.

Osserviamo che il ramo più basso dell'iperbole non può essere ottenuto perché corrisponde alle immagini virtuali del sistema. Inoltre possiamo osservare, guardando il grafico sperimentale che il ramo di iperbole superiore non è completo poiché il banco ottico è limitato.

Dalla legge dei  punti coniugati troviamo vari valori di f, l'errore su f si trova propagando l'errore su i e trascurando l'errore su o. Gli errori su i sono dovuti a vari fattori discussi nel paragrafo precedente.


A questo punto poiché per determinare i utilizziamo le misure di xs ed xl affette entrambe da un errore di 2 mm e poiché tali errori sono indipendenti li sommiamo in quadratura:

ottenendo un valore di 4 mm.


Ora essendo:


e propagando l'errore su i si ha che:

Quindi ottenuti i vari errori di f, possiamo trovare un unico valore di f calcolando la media pesata, otteniamo:

f = 17.41 ± 0.007

A questo punto possiamo linearizzare la legge dei punti coniugati ponendo:

1 / i = y                        1 / o = x

effettuando le sostituzioni otteniamo y = - x + p, dove con p si intende il potere rifrattivo del sistema. Possiamo riscontrare la linearità della relazione, studiando il grafico ed analizzando i valori di p e la pendenza della retta. Otteniamo una pendenza prossima a -1 (nei limiti dell'errore) come ci aspettavamo ed una intercetta p dalla quale si ricava il valore di f.

Per determinare l'errore su f si deve propagare quello su p. L'errore su p si ottiene dalla formula:


dove si prenda in considerazione:


quindi l'errore su f è dato da:


Con le opportune sostituzioni otteniamo f = 17.47 ± 0.15.

Per verificare la bontà dei nostri dati sperimentali calcoliamo il c2 per la retta dei minimi quadrati, usando la formula:


Con yi si intendono i valori teorici ottenuti sostituendo alla retta y = -x + p i valori di x ed p, otteniamo:

Il secondo metodo non è affetto dall'errore derivato dalla non conoscenza dei piani principali. Infatti poiché f lo si determina a partire da a ed L:


l'errore su f deriva dagli errori di queste due ultime misure.

Ad L si dà un errore pari a 2 mm mentre per a che si ricava per sottrazione si utilizza la somma in quadratura:


Propagando questi due errori nella formula di f si ottiene l'errore su f, facendo poi la media pesata dei vari valori di f si è ottenuto il valore:

Per quanto riguarda il terzo metodo, la f si ottiene dalla formula:


Quindi l'errore su f dipende dagli errori commessi su 1 / mi. Se consideriamo che la precisione del righello sia di 0.1 cm ed inoltre sxi sia di 0.2 cm (come per gli altri metodi) si è determinato

f = 19.9 ± 2.77.



Tabella n° 1 : Misurazioni relative al Metodo della legge dei punti coniugati

x0  

(cm)

xs+DxG  (cm)

xl+DxG   (cm)

o   (cm)

i   (cm)

f   (cm)

sf  (cm)

10

124.6

31.5

21.5

93.1

17.466

0.014

10

116.8

32

22

84.8

17.468

0.017

10

109.4

32.5

22.5

76.9

17.407

0.02

10

102.4

33

23

69.4

17.275

0.025

10

99.2

33.5

23.5

65.7

17.309

0.028

10

97.4

34

24

63.4

17.41

0.03

10

95

34.5

24.5

60.5

17.438

0.033

10

92.7

35

25

57.7

17.442

0.037

10

90.5

35.5

25.5

55

17.422

0.04

10

87

36

26

51

17.22

0.046

Tabella n° 2 : Anamorfosi dei dati contenuti nella Tabella n° 1

x = 1 / o

y = 1 / y

0.011

0.046

0.012

0.045

0.013

0.044

0.014

0.043

0.015

0.042

0.016




0.042

0.016

0.041

0.017

0.04

0.018

0.039

0.02

0.038

y = mx + q

m = -0.986                  q = 0.057

sm = 0.033                 sq = 0.0005

sy = 0.00024

f = 1/p = 17.467 cm                sf = 0.152 cm

fbest = 17.415 cm                     sf best = 0.007 cm

Tabella n° 3 : Dati relativi al secondo metodo

X0  (cm)

XS  (cm)

X1  (cm)

X2  (cm)

a (cm)

f (cm)

Erroresu  f (cm)

10

81

39.15

50.35

11.2

19.863

0.035

10

85

36.25

57.15

20.9

19.965

0.044

10

90

34.4

64.1

29.7

20.05

0.051

10

95

32.85

70

37.15

20.118

0.056

10

100

32.45

75.5

43.05

20.367

0.06

Tabella n° 4 : Dati relativi al terzo metodo

N° Misura

x (cm)

y (cm)

y' (cm)

m

1

35

15

31

2.067

2

37

15

25.5

1.7

3

40

15

19

1.267

4

43

15

16

1.067

f1,2 = 19.164                                       errore su f1,2 = 4.826

f3,4 = 20.267                                       errore su f3,4 = 3.389







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