La termologia è una parte della fisica che studia i fenomeni termici e che si divide in tre branche: calorimetria, termometria e termodinamica. Da essa, inoltre, è noto che un sistema isolato si porta prima o poi in una situazione in cui la temperatura è costante su tutto il sistema, cioè considerandone qualunque elemento di volume, l'energia cinetica media è sempre la stessa. Per il processo di trasmissione del calore di corpi a contatto, infatti, il calore fluisce sempre dal corpo a temperatura più alta a quello a temperatura più bassa fino a raggiungere una condizione di equilibrio termico. La temperatura finale dei due corpi non sarà mai uguale alla temperatura massima che precedentemente l'oggetto "più caldo" possedeva, questo perché per far avvenire la trasmissione si ha un passaggio (e quindi una perdita) di energia sotto forma di calore.

Un esempio può venire fornito da un termometro dove, per effettuare la misura, è necessario che si stabilisca equilibrio termico fra il termometro e l'ambiente.

Per qualunque corpo, e per intervalli di temperatura molto piccoli, la quantità di calore assorbita può essere scritta come:

Q= m c_s Dt

Dove con c_s si intende il calore specifico del corpo che è la capacità termica dell'unità di massa. Per capacità termica, invece, si intende il numero di calorie che si devono fornire per innalzare la temperatura dell'oggetto di un grado centigrado. In base a quanto appena

detto la relazione sopra scritta può venire espressa nel seguente modo:

C₀ = c_s m

Dove con C₀ si indica la capacità termica.

Pertanto corpi con capacità termica e calore specifico elevato si riscaldano più difficilmente; è vero però anche il contrario: corpi con calore specifico elevato si raffreddano più lentamente ( ecco perché la sabbia si riscalda più facilmente del mare e si raffredda più lentamente).

Se si indica con f_a la temperatura ambiente e con f quella di un termometro il calore acquisito può venire scritto mediante la legge:

DQ_acquisito = m c_s f_a f

mentre il passaggio di calore dall'esterno all'interno:

DQ = 1/R₀ f_a f Dt

dove R₀ è la resistenza termica.

Fatte queste premesse si può affrontare numericamente il problema.

L'esperienza si può dividere in due parti:

Utilizzo del Turbo Pascal per creare il programma;

Analisi dei dati ottenuti in un foglio Excel

PARTE 1: PROGRAMMA PASCAL

Come accennato nello scopo, è stato creato un programma in Turbo Pascal per definire i valori di temperatura di un sistema termico utilizzando la seguente formula:

f (t_n+1) = f(t₀) + (1/(t f_a ft₀ Dt)

dove  f_a è la temperatura ambiente dichiarata come costante a 30°C, f(t₀) è la temperatura precedente e t (tao) è una costante (che vale 0,5) che può venire espressa sotto forma di prodotto tra resistività e capacità:

t = R C

Inoltre sono stati presi degli incrementi di tempo (Dt) sempre uguali a 0,1s. Il programma che ne risultava era il seguente:

Program sistematermico;

const

tao=0.5;

deltaT=0.1;

ti= 0;

tf= 30;

Type

T=array [1..40] of real;

Var

a: integer;

fi: T;

testo: text;

x: string;

BEGIN

assign (testo,'c:\matteo.txt');

rewrite(testo);

fi[1]:=ti;

writeln(fi[a]);

for a:=2 to 40 do

begin

fi[a]:=fi[a-1]+(((1/tao)*(tf-fi[a-1]))*deltaT);

writeln(testo,fi[a]:2:2);

readln;

writeln(' ',a,' ',fi[a]:2:2);

writeln;

end;

readln;

end

Si analizzino ora le varie parti di esso per capirne il funzionamento.

Con le seguenti istruzioni sono state definite le costanti sopra citate e le variabili del programma tra le quali risulta una variabile "fi (f)" che richiama un array di 40 elementi totali e una variabile "testo" che servirà in seguito per creare un file di testo:

const

tao=0.5;

deltaT=0.1; -------------> intervallo di tempo

ti= 0; ----- ----- ------> temperatura iniziale

tf= 30; ----- ----- -------> temperatura finale

Type

T=array [1..40] of real;

Var

a: integer;

fi: T;

testo: text;

x: string;

Successivamente sono state date le istruzioni per creare un file di testo nel disco rigido C: e salvarlo sotto il nome "Matteo.txt":

assign (testo,'c:\matteo.txt');

rewrite(testo);

Dopo aver assegnato al primo dato di temperatura il valore zero con l'istruzione

fi[1]:=ti;

writeln(fi[a]);

è stato fatto un ciclo "for. to. do"( da 2 a 40 elementi) per ricavare i valori dalla formula:

for a:=2 to 40 do

begin

fi[a]:=fi[a-1]+(((1/tao)*(tf-fi[a-1]))*deltaT); ----- ----- ------------> f (t_n+1) = f(t₀) + (1/(t f_a ft₀ Dt)

Dal confronto visibile tra le due forme si nota che in Pascal essa ha subito qualche modifica per fare in modo che il programma la riconoscesse.

Infine con l'ultima parte del programma si facevano visualizzare i valori ottenuti a video con due cifre decimali:

writeln(testo,fi[a]:2:2);

readln;

writeln(' ',a,' ',fi[a]:2:2);

writeln;

end;

readln;

end.

PARTE 2: ELABORAZIONE RISULTATI

Il file di testo creato con il programma è stato ripreso in un foglio di lavoro Microsoft Excel, ottenendo così la serie di valori riportata nella tabella.

Ad una prima analisi si può dividere la tabella in quattro parti:

Da 0 a 1 secondo la temperatura sale da 0°C a 26,78 °C

Da 1,1 a 2 secondi la temperatura sale da 27,42 °C a 29,65°C

Da 2,1 a 3 secondi la temperatura sale da 29,72 °C a 29,96 °C

Da 3,1 a 4,1 secondi la temperatura va da 29,97 °C a 30,00 °C

La spiegazione a questo fatto è che:

nella prima parte il sistema tende ad innalzare notevolmente la sua temperatura per ottenere un equilibrio, nella seconda parte la temperatura si innalza di pochi gradi in quanto l'equilibrio sta per essere raggiunto, nella terza e quarta parte alla fine viene raggiunta la stessa temperatura dell'ambiente circostante poco per volta.

Il grafico che ne risulta dunque, sarà una curva che prima salirà molto velocemente per poi, un poco alla volta, rettificarsi stabilizzandosi.

Si individua così nella temperatura la variabile di stato e uscita del sistema mentre la temperatura ambiente rappresenta l'ingresso e la costante t il parametro. Lo schema a

blocchi che ne risulta è così costituito:

Si può inoltre ricavare l'equazione differenziale del sistema partendo da quella precedentemente analizzata:

C₀ Df = 1/R₀ f_a f Dt

Da cui dividendo per Dt ed R₀ si ottiene:

C₀ R₀ Df Dt) = f_a f

Mettendo poi Dt 0 si ricava l'equazione differenziale:

C₀ R₀ (df/ dt) = f_a f

Che può anche venire scritta nella forma definitiva come:

t (df/dt) + f f_a

Questa equazione rappresenta il modello matematico del sistema e può venire scritta in un'altra forma:

f _k+1 = f _k + 1/t f_a f _k) D_k

Da essa si può facilmente vedere che la determinazione di f in un istante t _k+1 richiede la conoscenza di t_k che rappresenta il valore precedente. f, oltre ad essere come detto variabile di stato, rappresenta anche l'energia termica posseduta dal corpo. La temperatura finale che verrà raggiunta dal corpo sarà uguale alla temperatura iniziale.

Concludendo, quindi, il sistema analizzato ha le seguenti caratteristiche:

sistema del primo ordine;

artificiale in quanto dovuto all'attività dell'uomo;

con memoria in quanto la risposta dipende dallo stato precedentemente raggiunto;

continuo in quanto descritto con variabili di tipo continuo;

stocastico perché posto nelle stesse condizioni iniziali si comporta sempre in modo diverso per via delle sollecitazioni che non possono essere tenute sotto controllo.