Definizione di forza e rappresentazione vettoriale - Il Momento di una forza

E' utile ricordare che il S.I. prevede che l'unità di misura segua il numero senza l'aggiunta di punti.

Esempi:

1000 KN (si legge 1000 kiloNewton e corrispondono a 1000000 N)

100 daN (si legge 100 decaNewton e corrispondono a 1000 N)

100 dN (si legge 100 deciNewton e corrispondono a 10 N)

Per rappresentare graficamente una forza occorre adottare una scala grafica di rappresentazione. Se per esempio si adotta una scala grafica delle forze in cui 1 cm corrisponde a 1000 N, un vettore di lunghezza pari a 1,3 cm rappresenterà graficamente una forza di 1300 N, mentre nella stessa scala per rappresentare una forza di 2450 N occorrerà disegnare un vettore la cui lunghezza grafica è pari a cm. Un altro modo per definire la scala grafica consiste nel rappresentare graficamente il modulo di riferimento e la grandezza associata che corrisponde alla lunghezza di un modulo.

Nell'esempio rappresentato la lunghezza del modulo base corrisponde a 1500 N; si può verificare che la forza rappresentata ha un intensità pari 2250 N. Il vantaggio di questo tipo di rappresentazione di scala consiste nell'essere indipendente dall'unità di misura grafica delle lunghezze e quindi un grafico si fatto può essere riprodotto in qualsiasi scala grafica delle lunghezze senza la necessità di modificare la scala delle forze presa a riferimento.

Composizione di forze

Assegnate due forze, F₁ giacente sulla retta r₁ ed F₂ sulla retta r₂, la risultante R del sistema di forze può essere ottenuta con la "regola del parallelogramma". Si prolunghino le rette r₁ e r₂ fino all'intersezione P e si traslino i vettori che rappresentano le due forze lungo le rispettive direzioni facendo in modo che queste escano dal punto P. Dall'estremo del vettore F₁ si tracci un segmento parallelo a r₂ e dall'estremo di F₂ un segmento parallelo a r₁ ottenendo così un parallelogramma. La diagonale del parallelogramma uscente da P rappresenterà in direzione, verso e modulo la risultante R dei vettori F₁ e F₂.

Un modo alternativo ma perfettamente equivalente per la ricerca della risultante si può ottenere ponendo la seconda forza F₂ in modo che segua la forza F₁. La risultante si ottiene in questo caso congiungendo il punto iniziale del vettore F₁ con il punto finale del vettore F₂.

La regola del parallelogramma individua in maniera univoca la risultante R, ma essendo applicabile a due forze per volta, risulta di non pratica applicazione quando i sistemi di forze sono costituiti da più forze.

Nel caso per esempio di tre forze coincidenti tutte in un punto, la ricerca della risultante con la regola del parallelogramma si ottiene determinando prima la risultante tra due delle tre forze e poi componendo questa con la terza forza ottenendo così la Risultante dell'intero sistema di forze.

Se le tre rette d'azione delle forze non si intersecano nello stesso punto, la costruzione grafica per la ricerca della risultante sfruttando la regola del parallelogramma, viene fatta sempre componendo la risultante delle prime due forze con la terza forza, ma questa seconda composizione avviene nel punto di intersezione tra le retta di giacenza della prima risultante con la retta di giacenza della terza forza.

Si può facilmente intuire che l'applicazione della regola del parallelogramma diviene ancora più laboriosa per i sistemi di forze costituiti da un maggior numero di forze. Per poter comporre sistemi costituiti da un maggior numero di forze risulta più conveniente costruire il poligono delle forze. Dato un sistema di forze, si costruisca un poligono lati sono ottenuti posizionando in sequenza, secondo la direzione e il verso di ogni forza, tutti i vettori che costituiscono il sistema di forze. Il vettore che si ottiene congiungendo il punto di partenza del primo vettore costituente il poligono e la punta dell'ultimo vettore, rappresenta la risultante del sistema di forze. Il poligono che abbiamo costruito viene detto poligono delle forze. Che il segmento 03 sia proprio la risultante del sistema costituito dalle tre forze si dimostra in modo facile considerando che il segmento 02 altro non è che la risultante tra le forze F₁ e F₂ e che il segmento 03 è la risultante tra 02 e F₃. Il segmento 03 quindi rappresenta proprio la risultante del sistema di forze dato. Si noti che il poligono delle forze individua la risultante in modulo, verso e direzione, ma non ci individua la posizione delle retta d'azione della risultante. Per poter individuare la posizione della risultante occorre costruire sul sistema di forze anche il poligono funicolare.

Scelto sul poligono delle forze un polo P arbitrario, si uniscono quindi i punti 0, 1, 2, 3 con il polo P ottenendo i raggi proiettanti a, b, c, d. Si riporti ora alla sinistra di F₁ un segmento arbitrario a' parallelo al raggio proiettante a che intersecherà la retta sulla quale giace la forze F₁. Da questa intersezione si procede col disegnare il segmento b' parallelo a b fino ad intersecare la retta sulla quale giace F₂, quindi dall'intersezione trovata si traccia il segmento c' parallelo a c fino all'intersezione con la retta di F₃. Per finire dall'ultima intersezione si traccia il segmento d' parallelo a d. Il poligono costituito dai segmenti a', b', c' e d' è detto poligono funicolare. A questo punto per trovare la posizione della retta d'azione della risultante R, si prolungano il primo e l'ultimo lato del poligono funicolare trovando l'intersezione M. La retta parallela a R passante per il punto M intersezione del primo e ultimo lato del poligono funicolare è proprio la retta di azione di R.

La dimostrazione della validità della costruzione grafica è molto semplice. Dal poligono delle forze si evidenzia che la forza F₁ può essere vista come la somma dei vettori 1P + P0; la forza F₂ come la somma dei vettori 2P+P1; la forza F₃ come la somma dei vettori 3P+P2. Si può quindi scrivere:

F₁=P0 + 1P

F₂= P1 + 2P

F₃= P2 + 3P

Sommando membro a membro e tenendo conto la somma al primo membro altro non è che la Risultante R ed inoltre che il vettore P1 è uguale ed opposto a 1P così come anche uguali ed opposti sono i vettori 2P e P2, si ottiene:

R=P0 + 3P

In pratica con il poligono funicolare si sostituisce al sistema di forze F₁, F₂ ed F₃ un sistema di forze equivalente in cui le forze giacciono sui lati del poligono a', b', c' e d'. Sui lati b' e c' così facendo agiranno forze rispettivamente uguali e contrarie e quindi il sistema equivalente risulterà composto solo dalle forze P0 e 3P giacenti sui lati a' e d'. La risultante R, uguale alla somma P0+3P, sarà applicata sull'intersezione di a' con d'.

Si riporta ora un esempio applicativo basato su un sistema di 4 forze. Dato il sistema di forze si costruisce il poligono delle forze e quindi scelto il polo P si determinano i raggi proiettanti. Si costruisce quindi il poligono funicolare facendo attenzione alla corrispondenza tra le forze e i raggi relativi. Prolungando infine il primo e l'ultimo lato del poligono funicolare si definisce la posizione della risultante R.

Risultante di due forze parallele

Si consideri un sistema di due forze parallele e concordi. La risultante del sistema si ottiene ponendo le forze una dietro l'altra e sarà ovviamente anch'essa parallela alle due forze. Algebricamente il modulo della risultante è dato dalla somma dei moduli delle due forze. Per determinare la posizione della risultante si effettui la seguente costruzione grafica. Si riportino sulla retta di azione di F₁ la forza F₂ mentre sulla retta d'azione di F₂ si riporta la Forza F₁ con verso opposto. Si congiungono quindi con due segmenti la punta di F₁ con la punta di F₂ e la coda di F₁ con la coda di F₂. L'intersezione tra i due segmenti così costruiti individua la posizione della risultante R.

Posto che d₁ sia la distanza della forza F₁ dalla retta d'azione della risultante e che d₂ sia invece la distanza di F₂, considerando che i due triangoli di base F₂ e F₁ sono simili si può scrivere la

seguente relazione:

Dalla relazione appena ricavata si deduce che per F₁>F₂ sia ha d₁<d₂ mentre per F₁<F₂ si ha che d₁>d₂. La risultante R risulta più vicino alla forza di maggiore modulo.

Se vogliamo determinare in maniera analitica la posizione di R, basta porre e quindi:

Ponendo in evidenza d₁ e ricordando che F₁+F₂=R si ha:

Consideriamo ora un sistema costituito da due forze parallele non equiverse.

Il modulo della Risultante R si ottiene sottraendo al modulo della forza maggiore quello della forza minore, la direzione della risultante sarà la stessa delle due forze mentre il verso sarà ovviamente quello della forza maggiore. La costruzione grafica per determinare la posizione della risultante viene eseguita nel medesimo modo scambiando di posizione le due forze ed invertendo il verso di una delle due. L'intersezione dei segmenti che uniscono le forze si ha però all'esterno delle due forze ed in particolare dal lato della forza maggiore. Si può verificare che anche in questo caso mantiene la sua validità la relazione analitica ricavata nel caso di forze equiverse.

Scomposizione di forze

Abbiamo prima visto come si può determinare la risultante di un sistema di forze nel piano, ora ci poniamo il problema di scomporre una forza. Il problema è assegnata una forza la si scomponga in due forze. Il problema si presenta come la regola del parallelogramma all'inverso e cioè data una forza e due rette di direzioni che passino per un estremo del vettore tracciando dall'altro estremo le parallele alle rette date si ottengono le due forze che si dicono componenti di F secondo le direzioni r₁ e r₂. E' evidente che la forza F è la risultante del sistema composto da F₁ e F₂ e quindi i due sistemi sono perfettamente equivalenti. Una particolare scomposizione che come vedremo ci consentirà di operare algebricamente sui sistemi di forze, si ha quando un vettore forza F viene scomposto secondo due direzioni perpendicolari. Posto un vettore F in un piano cartesiano XY la scomposizione di F secondo due direzioni rispettivamente parallele a X ed a Y, ci forniscono le componenti di F secondo gli assi X e Y che chiameremo quindi F_X e F_Y. Se il sistema di forze è composto da più forze, ognuna di queste può essere scomposta nelle due direzioni X e Y ottenendo quindi due sistemi di forze parallele, equivalenti al sistema di forze originario. Che i due sistemi di forze ottenuti siano equivalenti al sistema originario si può facilmente verificare costruendo un poligono delle forze nel piano XY, determinandone la risultante e componendo tutte le forze compresa la risultante.

Come si può facilmente notare la componente R_X è la somma e quindi la risultante di tutte le componenti F_x mentre la R_Y è la risultante di tutte le F_Y. Essendo R_X e R_Y le componenti di R, i due sistemi di forze ottenuti componendo il sistema originario secondo le direzioni X e Y ci forniscono la stessa Risultante R e quindi sono equivalenti al sistema di Forze originario.

Poter sostituire a sistemi di forze generici sistemi di forze parallele secondo due direzioni, consente di operare algebricamente sulle forze, infatti la direzione essendo identica per tutte le forze non pone necessità di rappresentazione numerica, il modulo è espresso attraverso un numero che esprime l'intensità della forza e con il segno algebrico potrà poi indicarsi il verso. Più avanti in questo fascicolo vedremo come descrivere algebricamente i sistemi di forze e come operare analiticamente su di essi.

Il Momento di una forza

Assegnata una forza F ed un punto P, si definisce braccio della forza F rispetto a P la distanza di P dalla retta di azione di F. Si definisce Momento della forza F rispetto a P il prodotto di F per il braccio d. E' facile intuire che anche il Momento di una forza è una grandezza vettoriale; infatti se si considera il punto P fisso nel piano e il braccio d come una asta rigida che collega P con la retta d'azione solidale a F, la Forza tenderà ad imprimere una rotazione dell'asta intorno a P. Tale rotazione avrà verso orario o antiorario a seconda della posizione reciproca di F e P e del verso di F. Il momento di una forza è quindi caratterizzato dall'avere una retta d'azione che coincide con la retta passante per P e perpendicolare al piano individuato dal punto P e dalla retta d'azione di F, ha un verso che indica la rotazione impressa e ha un modulo che è dato dal prodotto del modulo di F per il braccio d. Poiché noi ci occupiamo essenzialmente dei sistemi di forze piane, per evitare di rappresentare vettori momento su piani perpendicolari, per semplicità di rappresentazione indichiamo M con un "vettore" curvo indicante

appunto il verso di rotazione impressa nel punto P rispetto al quale è valutato il momento. Per descrivere il verso di un momento di sistemi di forze piano utilizzeremo come riferimento il verso delle lancette di un orologio, quindi considerando di porci in posizione perpendicolare al piano delle forze con i piedi sul punto P diremo valuteremo il verso del momento come orario se coerente con il movimento normale delle lancette dell'orologio o viceversa confideremo il verso antiorario. Come vedremo più avanti nella trattazione analitica dei sistemi di forze considereremo positivo il verso di un momento orario e negativo il verso opposto. Secondo il sistema di riferimento descritto, lo schema illustrato sopra corrisponde ad un momento con verso antiorario.

Per meglio comprendere quale sia il significato fisico del momento di una forza, si pensi per un attimo ad una porta che il cui movimento possibile è solo una rotazione intorno ai cardini. Per far ruotare la porta noi esercitiamo una forza sulla sua superficie o sulla maniglia. Si può notare che se dalla posizione della maniglia ci spostiamo verso i cardini, avremo la necessità di imprimere una forza maggiore per ottenere la rotazione della porta. In effetti per produrre la rotazione non è tanto importante l'entità della forza ma appunto il momento che questa forza produce intorno al centro di rotazione costituito dai cardini, quindi a parità di forza più ci allontaniamo dal centro di rotazione maggiore sarà il braccio della forza e quindi il momento. Si può ancora ricordare l'esempio delle leve con le quali appunto allungando il braccio si producono effetti maggiori riuscendo a sollevare pesi maggiori della forza da noi impressa. Un ultimo esempio intuitivo di natura pratica che ci fa prendere coscienza dell'importanza del momento di una forza è l'artificio che utilizziamo quando con una chiave non riusciamo a svitare un bullone, tutti sanno che se allunghiamo la chiave per esempio con l'utilizzo di un tubo, riusciamo nell'impresa di svitare il bullone che ci resiste con minore forza; con l'allungamento della chiave siamo in grado di imprimere un momento maggiore intorno al centro del bullone e quindi riusciamo a svitarlo nonostante la sua resistenza alla nostra volontà.

Abbiamo definito il momento di una forza rispetto ad un punto P come il prodotto della forza F per il braccio d. Nel disegno a fianco è riportata la forza F, il punto P e la distanza d braccio della forza F rispetto a P. Collegando punta e coda del vettore forza F con il polo P si ottiene il triangolo 01P la cui area si può esprimere attraverso la formula:

Il momento di F rispetto a P è pari a:

Dal confronto dell'espressione che ci fornisce l'area del triangolo 01P e l'espressione che ci fornisce il Momento di F rispetto a P si osserva che può scriversi la seguente espressione:

Il momento della forza F rispetto a P è pari al doppio dell'area del triangolo che si ottiene congiungendo punta e coda di F con il punto P.

Momento di un sistema di forze

Consideriamo un sistema di forze piano ed un punto O rispetto al quale vogliamo determinare il momento del sistema di forze. Analiticamente il Momento del sistema di forze sarà dato dalla

somma dei momenti rispetto a O delle singole forze che costituisce il sistema. Facendo riferimento alla figura si può scrivere:

Trattandosi di somma algebrica, è subito determinato anche il segno e quindi il verso del Momento del sistema di forze.

Il procedimento grafico per determinare il momento del sistema di forze viene eseguito nel modo che segue. Costruito il poligono delle forze con un polo P arbitrario si definisce la distanza polare H come distanza del polo P dalle forze. Si costruisce quindi il poligono funicolare e si determina la posizione della risultante R. Tracciata una retta passante per il punto O e parallela alle forze, si prolungano tutti i lati del poligono funicolare fino ad intersecare tale retta nei punti 0', 1', 2',3'.

Consideriamo ora i due triangoli tratteggiati 0'1'T₁ e 01P. I due triangoli i lati corrispondenti paralleli e quindi risultano simili. Per la similitudine tra i due triangoli si può esprimere la proporzionalità tra le basi e le altezze dei due triangoli e cioè:

Dall'espressione appena scritta si ricava la seguente:

Il segmento 0'1' ci fornisce il Momento della forza F₁ rapportato alla distanza polare H. Il segmento 0'1' va letto nella scala delle forze e H nella scala delle lunghezze. Analogo ragionamento possiamo fare sui triangoli1'2'T₂ e 12P verificando che il segmento 1'2' ci fornisce il momento della forza F₂ rapportata alla distanza polare H. In definitiva possiamo ricavare il Momento dell'intero sistema di forze nel modo che segue:

Consideriamo ora i triangoli 0'3'T e 03P. Anche questi due triangoli sono simili e tale similitudine implica che:

Il segmento 0'3' rappresenta quindi il momento della risultante R rispetto al punto O rapportato alla lunghezza polare H. Poiché il segmento 0'3' altro non è che la somma dei segmenti riportato nella formula precedente consegue che:

L'espressione appena ritrovata esprime analiticamente il cosiddetto Teorema di Varignon.

La somma dei momenti delle singole forze componenti un sistema rispetto ad un punto O è uguale in segno e valore al momento della Risultante rispetto allo stesso punto O.

L'espressione del teorema di Varignon è stata qui ricavata operando su un sistema di forze parallele e quindi particolare, ma la validità del teorema si estende a qualsiasi sistema di forze.

D'altra parte abbiamo visto precedentemente che qualsiasi sistema di forze può essere scomposto in due sistemi di forza paralleli perfettamente equivalenti al sistema di forze iniziale e quindi la validità dimostrata del teorema di Varignon per ognuno dei due sistemi di forze paralleli implica la validità anche per il sistema iniziale.

Le coppie

Si consideri un sistema di forze costituito da due forze parallele di uguale intensità ma di verso opposto. Il sistema presenta la particolarità di avere la Risultante nulla ma un Momento che rispetto a qualunque punto del piano è pari sempre al prodotto della forza per la distanza tra le due forze.

Questo sistema viene definito essere una coppia.

Se di tale sistema costruiamo il poligono delle forze ed il poligono funicolare riscontriamo che il poligono è chiuso (punto di partenza e punto finale coincidenti) infatti la risultante si riduce ad un punto e quindi è nulla. Il poligono funicolare invece non è chiuso ma presenta il primo e l'ultimo lato parallelo (qualunque sia il polo P scelto per disegnare il poligono delle forze il sistema viene sempre scomposto in una coppia equivalente).

Facendo riferimento al disegno riportato a fianco considerando un momento orario come positivo, si determini analiticamente il Momento della coppia di forze rispetto al punto O.

Il momento della coppia di forze considerata è antiorario e di modulo pari al prodotto della forza per il braccio della coppia. Anche cambiando il punto O di riferimento il momento della coppia non cambia.

Data una coppia di forza il momento rispetto a qualunque punto del piano della coppia è pari al prodotto della forza per il braccio della coppia. Il verso è di immediata determinazione e sarà espresso algebricamente positivo se orario, negativo se antiorario.

Momento di trasporto

Si consideri un qualunque sistema di forze riconducibile alla forza F rappresentata in figura. Nel punto O si applichi un sistema costituito da due uguali ed opposte di modulo pari a proprio a F. Poiché le forze aggiunte al sistema costituiscono un sistema nullo la nuova condizione è perfettamente equivalente alla condizione di partenza costituita dalla sola forza F. Il sistema ottenuto può essere interpretato come la somma della forza F originaria applicata in O e della coppia di forze di modulo F e braccio d. Il sistema ottenuto è dato quindi da F e da una coppia di Momento pari a . Si noti che il Momento della coppia equivalente al momento prodotto dalla sola forza F nella configurazione iniziale rispetto al punto P e quindi spostando la Forza dalla posizione iniziale al punto O per mantenere l'equivalenza del sistema di forze abbiamo dovuto aggiungere un Momento pari al prodotto della forza per la distanza di O dalla posizione iniziale della forza. Il momento viene detto Momento di trasporto della forza F.

Dato un sistema di forze la cui Risultate R e Momento M_O rispetto ad un punto O del piano, il sistema costituito da una forza pari R applicata in O e da una coppia di Momento pari M_O è equivalente al sistema di forze dato.

Il momento di trasporto e la proprietà di equivalenza dei sistemi di forze che abbiamo qui presentato trova larga applicazione nello studio delle strutture consentendoci spesso di sostituire a sistemi di forza complessi un sistema di forze semplicissimo costituito da una sola forze ed una coppia.

Condizioni di equilibrio per i sistemi di forze

Un sistema di forze che non produce cambiamenti nello stato di quiete o di moto di un corpo si dice un sistema di forze in equilibrio.

Analiticamente la condizione di equilibrio di un sistema di forze è che sia la Risultante sia nulla e che il Momento risultate rispetto ad un qualunque punto del piano sia anch'esso nullo.

Entrambi le espressioni riportate sono espressioni vettoriali, ma componendo il sistema di forze in un piano cartesiano di riferimento in due sistemi di forze paralleli la condizione di equilibrio del sistema di forze potrà essere espressa con un sistema di espressioni scalari (semplici espressioni algebriche) che prendono il nome di equazioni cardinali della statica.

Dal punto di vista grafico, si può dire che un sistema di forze è in equilibrio se è scomponibile in due forze uguali e contrarie non costituenti una coppia.

Tale circostanza si traduce quindi nelle due condizioni che seguono:

1) Il poligono delle forze deve essere chiuso, cioè il primo e l'ultimo punto devono coincidere. Se ciò si verifica il sistema di forze presenta un risultante nulla.

2) Il poligono funicolare deve avere il primo e l'ultimo lato coincidente. Se ciò avviene il sistema viene scomposto in due forze uguali e contrarie, che essendo applicate su una stessa retta non costituiscono una coppia (il Momento è nullo)

Si consideri l'esempio che segue.

Il sistema di forze è a risultante nulla in quanto il poligono delle forze è chiuso, il poligono funicolare ha il primo e l'ultimo lato coincidente e pertanto il sistema è scomponibile in due forze uguali ed opposte non costituenti una coppia.

Il sistema di forze presentato è in equilibrio essendo R=0 e M=0.

Determinazione della Risultante di un sistema di forze parallele con metodo analitico

Consideriamo un sistema di forze parallele. Conosciamo posizione, modulo e verso di ogni forza. Vogliamo determinare la risultante del sistema assegnato procedendo con metodo analitico. Scegliamo un punto qualsiasi del piano ed indichiamo con d₁, d₂, d₃ e d₄ le distanze dal punto P delle forze F₁, F₂, F₃ e F₄. Ai fini della rappresentazione algebrica dei versi delle forze assegniamo per convenzione il segno positivo alle forze che hanno il verso diretto in alto. Ovviamente alle forze che puntano verso il basso viene attribuito il segno algebrico negativo. Per i Momenti delle forze, adotteremo per convenzione il segno positivo per i Momenti con verso orario e negativo per i Momenti con verso antiorario. La Risultante deve essere parallela alle forze date e ha come modulo la somma algebrica dei moduli delle singole forze costituenti il sistema.

La Risultante si ottiene con la seguente espressione:

Per determinare la posizione della risultante, fissando il punto arbitrario P si determina il Momento del sistema di forze intorno a P.

Per il teorema di Varignon il momento di un sistema di forze rispetto ad un punto P è pari al momento della risultante del sistema di forze rispetto allo stesso punto P.

Detto d la distanza di R da P il momento del sistema di forze rispetto a P può scriversi anche:

Uguagliando le due espressioni del Momento si ha:

da cui si ottiene:

Con l'espressione appena ricavata applicando il teorema di Varignon si determina la distanza di R da P e quindi la posizione della risultante.

Le espressioni generali su riportate, nelle applicazioni pratiche vanno adottate tenendo conto dei segni effettivi delle forze e dei Momenti. Nel caso del disegno a fianco tutte le forze ad eccezione di F₂ sono da considerarsi negative, quindi l'espressione per il calcolo della Risultante assumerà la forma:

Il risultato è evidentemente negativo e corrisponde ad una risultante R rivolta verso il basso.

Per il calcolo dei Momenti l'espressione generale si specializza nel caso specifico in:

Tutte le forze ad eccezione di F₂ determinano un Momento positivo intorno a P, la F₂ produce invece un momento negativo. Il Momento risultate del sistema di forze sarà nel caso specifico certamente positivo.

La distanza d della Risultante si ottiene dal rapporto:

Per capire da quale lato di P va posizionata la distanza d va considerato che nel caso in esame la R è diretta verso il basso e deve produrre un Momento positivo e quindi orario. La considerazione

appena fatta ci consente di capire che in questo caso la Risultante è posizionata alla destra di P alla distanza d.

Si noti che il risultato algebrico di d è di segno negativo, ma noi non abbiamo utilizzato il segno per discriminare il lato da cui misurare la distanza da P. Per poter trattare algebricamente in maniera completa i sistemi di forze, abbiamo la necessità di attribuire un significato discriminante al segno delle distanze.

Per fare ciò si considerino gli schemi che seguono:

Nei due schemi a sinistra abbiamo la forza F posizionata alla destra di P ; nello schema in alto è positiva e nello schema in basso è negativa. Nello schema in alto il Momento è antiorario e quindi il prodotto deve assumere il segno negativo, essendo F positiva la distanza d deve considerarsi negativa. Nello schema sotto a sinistra il momento è orario e quindi il prodotto deve assumere segno positivo; Essendo F negativa anche la distanza d deve considerarsi negativa. d

Dall'esame dei due schemi a sinistra si è desunto che la distanza di una forza F posta alla destra di P deve considerarsi negativa. Esaminando gli schemi a destra si può verificare che se la Forza è a sinistra di P la distanza deve considerarsi positiva.

Con la definizione del segno della distanza abbiamo completato le convenzioni sui segni necessarie alla soluzione analitica completa dei sistemi di Forze. A conclusione del paragrafo riportiamo quindi le convenzioni sui segni adottate.

1) Le forze si assumono positive quando hanno il verso coerente con gli assi di riferimento di un sistema cartesiano. Saranno quindi considerate positive le forze orizzontali dirette verso destra e le forze verticali dirette verso l'alto.

2) I Momenti delle forze intorno ad un punto P saranno assunti positivi se di verso orario, negativi se di verso antiorario.

3) Le distanze delle Forze da un punto P saranno valutate positive se, posto un osservatore su P e orientato nel verso positivo delle Forze, la distanza si sviluppa alla sinistra di P.

Rappresentazione analitica di un sistema di forze piano

Come abbiamo visto le forze sono grandezze vettoriali e quindi non caratterizzabili semplicemente con un numero. Se però dobbiamo trattare sistemi di forze aventi tutte la stessa direzione (tutte forze parallele) gli elementi caratterizzanti di una forza si riducono all'intensità caratterizzata dal modulo e quindi esprimibile attraverso un numero e al verso che può essere espresso attraverso un segno algebrico. Assumendo quindi un verso di riferimento a cui assegniamo il segno algebrico positivo il sistema di forze può essere rappresentato attraverso un numero e un segno algebrico. Se facciamo riferimento a sistemi di forze paralleli agli assi di un piano cartesiano di riferimento, considereremo come verso positivo delle forze il verso coerente con gli assi di riferimento. Avremo quindi che per le forze verticali si considereranno positive le forze con verso diretto in alto, mentre per le forze orizzontali considereremo con verso positivo le forze con la punta del vettore diretta verso destra. Per poter posizionare correttamente una forza su un piano cartesiano di riferimento avremo anche bisogno di individuare un punto particolare che definiamo come punto di applicazione della forza. Adotteremo in questo testo la convenzione di considerare quale punto di applicazione di una forza il punto dove è posizionata la punta del vettore forza.

pagina - 15 - R. Lapiello - appunti di Costruzioni - Sistemi di forze -

E' utile far notare che i risultati ottenuti con le operazioni sui sistemi di forze sono indipendenti dal punto di applicazione con l'unica restrizione che impone che tale punto sia comunque considerato appartenente alla retta di giacenza della forza. Ciò che interessa sono solo le posizioni relative tra le rette di azione, i versi e le intensità delle forze, pertanto i risultati ottenibili sono fisicamente indipendenti dal sistema di riferimento adottato.

Per meglio chiarire le definizioni introdotte, si faccia riferimento alle forze rappresentate in figura.

La forza F_1y è una forza parallela all'asse Y di riferimento applicata nel punto P₁ individuato dalle sue coordinate cartesiane. Essendo la forza diretta verso il basso il suo modulo sarà rappresentato con segno algebrico negativo. La forza F_3y è anch'essa parallela all'asse Y ed è applicata nel punto P₃ individuato dalle proprie coordinate cartesiane. La forza è diretta verso l'alto coerentemente con l'asse Y e quindi il suo modulo verrà espresso con segno algebrico positivo.

La forza F_2x è parallela all'asse delle X ed è applicata nel punto P₃. Essendo il verso di F_2x concorde con l'asse X di riferimento il suo modulo andrà espresso con segno positivo. E per finire la forza F_4x è parallela all'asse X e applicata nel punto P₄. Il suo verso è discorde dall'asse X ed il suo verso sarà descritto facendo precedere il suo modulo dal segno negativo.

Abbiamo visto come individuare algebricamente un sistema di forze costituito da tutte forze parallele agli assi di riferimento, vediamo ora come si può individuare una forza comunque inclinata applicata in un punto P del piano XY.

Per individuare in maniera univoca un forza nel piano Cartesiano, oltre al modulo ed al punto di applicazione abbiamo la necessità di un parametro per indicare l'inclinazione della forza. Per definire l'inclinazione della forza utilizzeremo l'anglo che questa forma con la direzione orizzontale. In figura sono riportati tre esempi di forze che fanno comprendere la corrispondenza tra l'angolo e la direzione che la forza assume. Nel disegno è anche rappresentata la scomposizione delle forze con i versi assunti dalle componenti secondo le direzioni X e Y.

Prendiamo in considerazione la forza F₁. Il punto d'applicazione P₁ è definito attraverso le sue coordinate, l'intensità della forza attraverso il modulo e la direzione della forza attraverso l'angolo α che questa forma con la direzione orizzontale. L'angolo α formato dalla forza F₁ è un angolo minore di 90°, cioè appartenente al primo quadrante; Sia la componente verticale sia la componente orizzontale di F₁ presentano un verso discorde dagli assi di riferimento e quindi nella rappresentazione scalare dovranno essere considerate negative. Le componenti F_1X e F_1Y possono intendersi come i cateti del triangolo rettangolo la cui ipotenusa e proprio F₁, quindi guardando la figura si comprende che le componenti della forza F₁ possono calcolarsi nel modo che segue:

Le espressioni appena scritte ci forniscono le componenti orizzontale e verticale di F₁ a meno del segno, infatti per α appartenente al primo quadrante sia la funzione seno che il coseno fornisce risultati positivi, mentre come abbiamo visto le componenti cercate devono invece essere negative.

Qualunque sia α il modulo delle componenti orizzontali e verticali possono calcolarsi sempre con le espressioni suddette avendo però cura di assegnare il giusto verso alle componenti considerando graficamente la direzione della forza.

Operando manualmente non c'è alcuna difficoltà ad attribuire il giusto verso e quindi a considerare successivamente nello sviluppo dei calcoli il corretto segno algebrico, ma se per esempio dobbiamo programmare una soluzione automatizzata al computer, scaturisce la necessità di ottenere come risultato dell'algoritmo algebrico anche il segno delle componenti. Verifichiamo quindi qual è il segno delle componenti di una forza generica F al variare dell'angolo α.

Nella tabella che segue sono rappresentati i segni delle funzioni seno e coseno e i segni che devono assumere le componenti F_X e F_Y in base al quadrante di appartenenza dell'angolo α.

Dalla tabella si vede chiaramente che per ottenere i valori delle componenti F_X e F_Y con il giusto segno algebrico dobbiamo nei calcoli considerare un angolo α sfalsato di una angolo piatto.

Le formule che forniscono quindi un risultato algebrico completo del segno sono:

Facciamo un esempio.

Abbiamo un sistema di 3 Forze F₁, F₂, e F₃, applicate rispettivamente nei punti P₁, P₂ e P₃ e Inclinate rispetto alla direzione orizzontale degli angoli α₁, α₂ e α₃. Rappresentiamo il sistema sul piano cartesiano di riferimento e determiniamo le componenti secondo X e Y delle forze.

I dati sono:

Nel piano cartesiano sono stati riportati i punti di applicazione delle forze e quindi le forze secondo l'angolo di inclinazione. Sono state inoltre riportate le componenti orizzontali e verticali delle singole forze che vengono ora calcolate analiticamente con le formule rigorose.

Adottando i valori appropriati nelle formule si ottengono i risultati che seguono

I segni algebrici ottenuti nei risultati sono coerenti con i versi che ci si sarebbe attesi per le componenti delle forze assegnate.

Determinazione della risultante di un sistema generico di forze piane con metodo analitico

E' stato dimostrato che un sistema di forze generiche può essere scomposto in due sistemi di forze parallele ognuno dei quali presenta una risultante che è la componente secondo la direzione delle forze componenti della risultante del sistema di forze dato. La soluzione del sistema scomposto in due direzioni parallele e solitamente perpendicolari tra loro, se condotto per via grafica comporta la costruzione di un poligono delle forze e del poligono funicolare per ognuno dei due sistemi ottenuti. Per ognuno dei due sistemi sarà individuata la Risultante e la relativa retta di azione. La Risultante del sistema totale si ottiene componendo le due risultanti parziali, mentre la retta d'azione è individuata dalla direzione della Risultante totale passante per il punto di intersezione delle due rette d'azione delle risultanti parziali.

Viene qui presentata la soluzione di un sistema di forze in modalità grafica componendo il sistema secondo due sistemi di cui uno parallelo alla direzione orizzontale e uno parallelo alla direzione verticale.

Il procedimento grafico presentato ovviamente non ha molto senso potendosi in effetti procedere graficamente direttamente sul sistema originario senza la necessità di procedere alla scomposizione, ma è interessante perché illustra in modo più intuitivo il procedimento che invece deve seguirsi per procedere analiticamente.

Consideriamo il semplice sistema di forze rappresentato in figura. Abbiamo già visto precedentemente come può essere rappresentato un sistema di forze su un piano cartesiano e come vanno determinate le componenti delle forze secondo le direzioni degli assi. Abbiamo anche definito il sistema di riferimento algebrico assumendo le forze positive se di verso concorde agli assi cartesiani e i momenti positivi se orari.

Abbiamo già visto come procedere analiticamente alla soluzione di un sistema di forze parallele, nel caso più generale che qui presentiamo, abbiamo due sistemi di forze parallele che sono costituiti, uno dalle componenti F_X e l'altro dalle forze F_Y. Risolvendo il sistema delle forze F_X determineremo la componente R_X della risultante mentre il sistema F_Y ci fornisce la componente R_Y della risultante. Per entrambi i sistemi di forze si farà riferimento al punto O origine degli assi cartesiani. Facendo riferimento alle formule ricavate nella trattazione di un sistema di forze parallele nel caso generale che qui trattiamo si scrivono:

pagina - 19 - R. Lapiello - appunti di Costruzioni - Sistemi di forze -

dove: MX rappresenta il momento rispetto a O delle Forze Fx componente secondo l'asse X della RY FY e quindi la componente secondo l'asse Y della dX X parallele a X a a X della componente RX I ricorda che per le convenzioni sui segni adottate, le distanze si considerano positive quando il alle = e quindi

M_Y rappresenta il momento rispetto a O delle Forze F_Y

R_X rappresenta la risultante delle Forze F_X e quindi la

risultante R del sistema assegnato rappresenta la risultante delle Forze

risultante R del sistema assegnato è la distanza dall'asse X delle forze F

d_Y è la distanza dall'asse Y delle forze F_Y parallele a Y

d_RX è la distanza dall'asse X della retta d'azione parallel

d_RY è la distanza dall'asse Y della retta d'azione parallela a Y della componente R_Y

S

punto di applicazione della forza appare alla sinistra di un osservatore posizionato sul punto rispetto al quale si calcolano i momenti che ha lo sguardo rivolto nel verso delle forze positive, Se consideriamo le forze Fxi, notiamo che le distanze d_Xi coincidono in valore e segno

coordinate Y_i dei relativi punti di applicazione delle forze, si ha cioè che:

d

dove yR rappresenta la coordinata y del punto di applicazione della risultante R. er quanto attiene alle distanze dYi è da notare che posto un osservatore in O ed orientato con lo − = e quindi

P

sguardo nella direzione dell'asse Y, le forze alla destra di Y con coordinate x positive presentano una distanza da O e quindi dall'asse Y che deve essere considerata negativa, ne consegue che:

d

ove xR è la coordinata x del punto di applicazione della risultante. bbiamo visto come determinare il punto di applicazione della Risultante PR di coordinate xR e yR e Y con la risultante R, formano un triangolo rettangolo, in cui RX e R sono i

d

A

le componenti R_X e R_Y della risultante, per ottenere la risultante R non resta che combinare le due componenti R_X e R_Y. Le componenti R_X e R

Ycateti e R è l'ipotenusa, applicando il teorema di Pitagora calcoliamo R e dalla relazione trigonometrica tra i cateti del triangolo calcoliamo l'angolo α.

Dobbiamo fare ora qualche osservazione sull'utilizzo della funzione arcotangente utilizzata nella

formula che ci permette di calcolare α. Come è noto la funzione tangente presenta il medesimo valore ad intervalli di 180°, cioè ()180±=ααtgtg, da ciò deriva che la funzione arcotangente inversa della funzione tangente, disce con certezza il valore di α, infatti ad ogni valore di αtg possono corrispondere diversi valori di α. Le calcolatrici scientifiche che solitamente utilizziamo, me risultato della funzione ()xarctg ci forniscono solo risultati di α al 1° o al 4° quadrante, e cioè:

ta a noi interpretare fisicamente il risultato e comprendere se il valore di α fornito dalla Condizione Fisica Segno algebrico delle componenti e

S

calcolatrice è corretto o se dobbiamo trasportare il risultato in un altro quadrante. Vediamo quali sono i casi che possono presentarsi:

4° Quadrante nalizzati tutti i casi possibili si deduce che la calcolatrice ci fornirà risultati corretti fisicamente icapitolando descriviamo in sequenza tutte le operazioni da compiere nella trattazione analitica di

A

quando R_X<0 mentre nel caso in cui R_X>0 al risultato della calcolatrice dobbiamo aggiungere un angolo piatto.

R

un sistema di forze.

1) Il sistema di forze viene rappresentato in un sistema di riferimento cartesiano, quindi 2) tale e verticale della Risultante R sommando a.

vengono determinate le componenti orizzontali e verticali delle forze tenendo conto della convenzione sui segni algebrici. Si calcolano le componenti Orizzon

algebricamente tutte le forze orizzontali per la componente R_X e tutte le forze verticali per la componente R_Y. ∑ = Yi Y Xi X F R 3) Si determinano le coordinate del punto di applicazione della Risultante attraverso a. =FR

l'applicazione del teorema di Varignon alle forze Orizzontali per la coordinata Y e alle forze verticali per la coordinata X.

b. 4) Si determina il modulo della Risultante R con il teorema di Pitagora e l'angolo α che la a. risultante forma con la direzione orizzontale attraverso la relazione trigonometrica che lega R_X e R_Y.

b. acciamo qualche esempio applicativo ) Riprendiamo il sistema di forze già trattato nell'esercizio sulla scomposizione analitica

F

delle forze e determiniamo la Risultante.

F1=2000 N P1 (2;3) α1 = 35° F2=1500 N P1 (4;-2) α1 = 230° F3=1800 N P1 (-1;2) α1 = 120° Le componenti orizzontali e verticali delle forze sono già state determinate con le formule che segue:

=++−==2269009641638XiXFR

Sostituendo i valori si hanno:

S

50421557−−XYRMR 48 , 2 3861− = = = − = − − = − = X R Y R Y M X La risultante R e l'angolo α che la risultante forma con la direzione orizzontale si calcola nel modo he segue:

∑ 1557 1559 1149 1147 Yi Y F R i determinano i momenti delle forze intorno a O:

c

Le coordinate del punto di applicazione della Risultante si ottengono applicando l teorema di Varignon.

Essendo R_X positiva si è aggiunto 180° per ottenere l'angolo nel giusto quadrante.

2) E' assegnato un sistema costituito da 5 forze, di cui si conoscono tutti gli elementi che consentono di rappresentare il sistema in un piano cartesiano. Si rappresenti il sistema e se ne determini la risultante. Punti Xi Yi Fi αi 1 3,00 1,00 2000,00 30,00

2 2,00 2,00 1400,00105,00 3 1,00 4,00 1700,00 234,00 4 2,00 -1,00 2300,00 340,00 5 3,00 -2,00 1200,00 56,00 I dati sono presentati sottoforma di tabella nella quale alla riga 1 corrispondono i dati della forza F1, lla riga 2 i dati della forza F2 e via dicendo. Le Forze si intendono espresse in daN le coordinate procedimento analitico per la ricerca della risultante di un sistema di forze, si presta molto bene colo on calcolo. Per completezza in alto ad ogni colonna alcolata riporteremo la a generale che ci consente di ottenere i risultati numerici che riempiranno le celle della tabella. Nell'ultima r della ta o delle celle nelle quali calcoleremo le somme di ogni colo tene os ne risultante RX e RY oltre alla somma dei momenti M MY. [°] s(α en [Fx * y] [ Fy * (-x) ]

a

in m e gli angoli in gradi sessadecimali.

Il

ad essere sviluppato attraverso una tabella di calcolo. In pratica alla tabella dei dati già presentata si aggiungono una colonna nella quale inseriamo i valori delle componenti F_X delle forze, una nna per le F_Y e ancora due colonne per i momenti M_X e M_Y. Le quattro colonne da aggiungere terranno tutte dati che sono frutto di un

cc

4 2,00 -1,00 2300 340,00-2161,29786,652161,29 -1573,295 3,00 -2,00 1200 56,00 -671,03-994,851342,06 2984,54 TOTALI -3202,79-1185,176492,94 5740,51 Le componenti delle Risultante sono: ∑∑ Le coordinate del punto di applicazione d ris −==−==17,118579,3202YiYXiXFRFR

F2

Si riporta la rappresentazione grafica del sistema di forze e della risultante.

F2X F2YP1 P4 F3F3XF3YP3 234° 3 1 1 −1 105° 340° F4 F4Y F4X P5 F5 F5X F5Y

4,84 56° 20°,31 RRX RY 3) E' assegnato un sistema costituito da 4 forze, di cui si conoscono tutti gli elementi che consentono di rappresentare il sistema in un piano cartesiano. Si rappresenti il sistema e se ne determini la risultante. Punti Xi Yi Fi αi 1 6,00 2,00 2500 50,00 2 5,00 3,00 1800 70,00 3 3,00 3,00 2000 110,00 4 1,00 2,00 2300 125,00 I dati del sistema di forze sono riportati nella tabella che precede nella quale si intende che le coordinate sono espresse in metri, le forze in da li α in gradi sessadecimale. La lettura F2 riz ti della Forza F3 e la riga 4 i dati della forza F4. celta un opportuna scala grafica rappresentiamo il sistema su un piano cartesiano.

N e gli ango

della tabella è la seguente: La forza F₁ ha un modulo pari a 2500 daN, forma con la direzione orizzontale un angolo di 50° ed è applicata nel punto P₁ di coordinate X₁=6,00 e Y₁=2,00; la forza è pari a 1800 daN, e applicata in P₂(5,00 ; 3,00) è forma un angolo di 70° con la direzione zontale; a seguire la riga 3 ci fornisce i da

oS

Y423

Sviluppiamo ora i calcoli che ci consentono di determinare la Risultante R ed il suo punto di applicazione. I calcoli verranno svolti organizzando il lavoro in una tabella. [°] [F*cos(α+180)] [F*sen(α+180)] [Fx * y] [ Fy * (-x) ] Punti Xi Yi Fi αi Fx Fy M(x) M(y) 1 6,00 2,00 2500 50,00 -1606,97 -1915,11 -3213,94 11490,67 2 5,00 3,00 1800 70,00 -615,64 -1691,45 -1846,91 8457,23 3 3,00 3,00 2000 110,00 684,04 -1879,39 2052,12 5638,16 4 1,00 2,00 2300 125,00 1319,23 -1884,05 2638,45 1884,05 TOTALI -219,34 -7369,99 -370,27 27470,11 In alto alle colonne calcolate sono riportate le formule utilizzate per la determinazione dei valori riportati nelle celle. Sull'ultima riga sono state effettuate le somme dei valori contenuti nelle singole colonne. A questo punto abbiamo determinato tutte le grandezze che ci servono per definire le proprietà della risultante.

X2311456 F1 F2 F F4

Le componenti delle Risultante sono: −==34,219FR

∑ 9 7369 Y Y Xi X F R Le c din pu app ne della risultante sono:

()() ( ) 2953 , 88 6007 , 33 99 , 7369 ° = − tg R siano. 26,737399,736934,2192222=−+−=+=RRRYX

34,219=−==arcarctgRarctgYα

XNon ci resta che rappresentare la risultante R nel piano carte

R88°,29 Casi particolari di sistemi di forze Nella soluzione dei sistemi di forze si possono presentare dei risultati analitici particolari sui quali è opportuno analizzare la casistica e fare qualche considerazione. 1) Una sola delle componenti della risultante è nulla. Se per esempio è nulla RX, appare evidente che la Risultante risulta parallela all'asse Y verticale; il punto di applicazione non è individuabile, infatti solo la coordinata XR può essere calcolata mentre per la YR avremo un valore indeterminato in quanto nella relativa formula di calcolo il denominatore è pari zero. La retta di azione di R è però determinata, infatti sarà la retta parallela a Y e che interseca l'asse delle X in corrispondenza della ascissa XR. Se risulta nulla RY, con analogo ragionamento si riconosce che la Risultante è parallela a X e la sua retta d'azione interseca l'asse Y alla ordinata YR. nulle mentre risultano diverse da zero almeno

F4 50° 125° 3,73 1,69 70°110°

2) Entrambi le componenti R_X e R_Y sono

uno delle due componenti del Momento M_X e M_Y.

pagina - 27 - R. Lapiello - appunti di Costruzioni - Sistemi di forze - Se risultano nulle entrambi le componenti della Risultante R il sistema sarà a risultante del sistema di forze rispetto al punto , il sistema si riduce ad una coppia il cui momento è pari alla somma algebrica delle

nulla; Essendo invece diverso da zero il momento

O

due componenti del momento M_X e M_Y. YXMMM+= Le formule per il calcolo delle coordinate del punto di applicazione della risultante danno entrambi risultati indeterminati, avendo al denominatore valori nulli. Le coordinate del punto di applicazione della risultante perdono comunque di significato in

quanto la Risultante è un vettore nullo. rambi le componenti del momento sono nulle mentre le

3) Ent componenti di R sono intorno al punto O origine del piano 4) Entrambi le componenti di R sono nulle e altrettanto nulli sono i momenti M e M diverse da zero Il sistema di forze non determina un momento

c

artesiano di riferimento, La risultante R esiste e la sua retta d'azione passa proprio per l'origine degli assi. Il punto di applicazione della Risultante coincide con l'origine O, in quanto nelle formule che forniscono le coordinate del punto di applicazione di R il numeratore risulta nullo per entrambe le coordinate.

XY Il sistema presenta Risultante e Momento risultante nullo. Il sistema rappresenta un sistema di forze in equilibrio.